Analisis de funciones sus derivadas y aplicaciones

Desarrollo de la práctica:

1. ¿El cambio promedio y el cambio instantáneo representan lo mismo?

La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra.

Ahora bien llamamos razón cambio promedio al cociente de las diferencias de ƒ durante el intervalo [a,b] y lo representamos de la siguiente manera:

[pic 1]

En otras palabras decimos que es el cambio del eje “y” entre el cambio del eje “x” (Δy/Δx) que finalmente es conocido como primera derivada.

La razón de cambio instantánea también es conocida como segunda derivada y nos expresa la rapidez con la que la pendiente m de una curva cambia en un momento determinado o dicho de otra forma es la razón de cambio de la pendiente en un momento específico. Lo representamos con la siguiente fórmula

[pic 2]

Es importante aclarar que esta fórmula solo es válida siempre y cuando el límite exista

1. ¿El resultado del cambio promedio de una función y el cambio instantáneo son iguales?

Puede ser en un momento muy específico cuando Δx sea muy cercana a cero y lo representamos como “límite de Δy/Δx cuando Δx tiende a 0” nos referimos a la razón de cambio promedio de la variable "y" cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable "x".

1. ¿Qué se debe cumplir para poder decir que son iguales?

Cuando escribimos “límite de Δy/Δx cuando Δx tiende a 0”  Podemos entonces decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable "y" con respecto a la variable "x". Es decir, cuando hacemos que la longitud (|Δx|) del intervalo limitado por
x0 y y0 +  Δx tienda a cero, “la razón de cambio promedio de y” se convierte en “la razón de cambio instantánea de y” con respecto a "x".

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