APLICACIONES DE LA DERIVADA CONSTRUCCIÓN DE GRAFICAS DE FUNCIONES
Enviado por Matias Astellano • 15 de Febrero de 2017 • Apuntes • 3.282 Palabras (14 Páginas) • 337 Visitas
APLICACIONES DE LA DERIVADA [pic 1]
CONSTRUCCIÓN DE GRAFICAS DE FUNCIONES
El conocimiento del comportamiento de una función a partir del análisis de sus derivadas, nos permitirá realizar gráficas sofisticadas. Podemos identificar los puntos en que cambia la característica de la gráfica a partir de la localización de máximos, mínimos, puntos de inflexión, estudio del crecimiento, decrecimiento y concavidad. Esto junto con la aplicación de límite para la determinación de asíntotas completa nuestro estudio.
Vamos a analizar funciones polinómicas, racionales e irracionales.
- FUNCIONES POLINOMICAS:
Recordemos que son de la forma: f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
Donde an es el llamado coeficiente principal o dominante y a0 es el término independiente que nos proporcionará en nuestro análisis la ordenada al origen.
Para realizar la gráfica de estas funciones se ha de tener en cuenta el grado del polinomio y el signo del coeficiente dominante. Sabemos que su dominio es el conjunto de los números reales y el conjunto imagen estará sujeto al grado del polinomio.
Relación del grado y signo del coeficiente dominante del polinomio con la gráfica:
La gráfica correspondiente a la función subirá o bajará sin límite cuando x se mueve a la izquierda o a la derecha; si el gráfico sube o baja se sabe por su grado (par o impar) y por el signo del coeficiente dominante.
Vamos a considerar primero un polinomio de grado par.
- Si a n > 0 [pic 2]
[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
- Si an < 0[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]
Consideremos el polinomio de grado impar:
- Si an > 0[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]
- Si a n < 0[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
Podemos comprobar con lo visto anteriormente, que las funciones polinómicas crecen o decrecen sin límite para valores muy pequeños o muy grandes de la variable independiente, esto es:
Para un polinomio de grado impar: Si an >0 se cumple [pic 37] y [pic 38]
Si an < 0 se cumple [pic 39] y [pic 40]
Para un polinomio de grado par: Si an >0 se cumple [pic 41]
Si an < 0 se cumple [pic 42]
Mediante este análisis preliminar a la construcción de la gráfica, sabemos que si el dominio de estas funciones es el conjunto de números reales no va a presentar asíntotas verticales; y si tenemos en cuenta el comportamiento para x→ ± ∝ tampoco presentará asíntota horizontal.
Relación de la gráfica con las raíces:
Por el teorema fundamental de álgebra, sabemos que un polinomio tiene tantas raíces como lo indica su grado. Las consecuencias de este teorema son:
- Un polinomio de grado n, tiene exactamente n raíces considerando las reales y no reales.
- Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.
- Si un polinomio de grado n, tiene n raíces reales distintas entonces se puede factorizar de la siguiente manera: y = a n . ( x – x 1) . ( x – x 2) . ( x – x 3) ……( x – x n)
Donde an es el coeficiente principal
Si alguna raíz está repetida, por ejemplo si x1 está repetida 2 veces y x2 está repetida 3 veces entonces la factorización queda:
y = a n . ( x – x 1)2 . ( x – x 2)3 . ( x – x 3) ……( x – x n)
la cantidad de veces que está repetida una raíz se llama grado de multiplicidad de la raíz, así x1 tiene grado de multiplicidad 2 y x2 tiene grado de multiplicidad 3.
Si el grado de multiplicidad de la raíz es par la grafica de la función polinómica rebota en el eje x. Si el grado de multiplicidad de las raíces es impar, la gráfica atraviesa al eje x.
- Las raíces no reales se presentan de a pares, por eso un polinomio de grado impar, tiene por lo menos una raíz real ( es decir si z1= a+bi es una raíz también lo es su complejo conjugado z 2 = a - bi.)
Para hallar las raíces de un polinomio debemos factorizarlo, es decir expresarlo como producto de n factores.
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