MODOS NORMALES

APÉNDICE II.- MODOS NORMALES

Los sistemas en vibración no se limitan a sistemas que tienen un tipo de vibración libre y que están caracterizados por una sola frecuencia, ya que un sistema físico real es capaz de vibrar de muchos modos diferentes y puede resonar a muchas frecuencias distintas, denominaremos a estas diversas vibraciones características modos o Modos Normales.

Los modos normales de vibración son casos especiales del movimiento de osciladores acoplados. Corresponden al caso en el que las dos partículas (o más) se mueven con la misma frecuencia y mantienen una diferencia de fase constante. Para el análisis de los modos normales consideraremos un material compuesto por una cadena larga con un gran número de osciladores sencillos acoplados juntamente, por ejemplo un cuerpo solido esta compuesto por muchos átomos y moléculas. Cada átomo puede comportarse como un oscilador, vibrando alrededor de una posición de equilibrio. Pero el movimiento de cada átomo influye en sus vecinos de modo que, de hecho, todos los átomos del solido están acoplados entre si. Empezaremos discutiendo las propiedades de un sistema formado por solo dos osciladores acoplados, para después discutir el comportamiento de sistemas más complejos.

Empecemos con un ejemplo muy sencillo. Consideremos 2 péndulos idénticos A y B y conectémoslos con un resorte cuya longitud libre sea exactamente igual a la distancia entre los péndulos. Ahora este sistema posee 2 modos normales de vibración. Ya que para sistemas de una sola dimensión n=N siendo n el numero de Modos Normales del sistema y N el numero de partículas del mismo.

Primero tomemos un ejemplo mas sencillo, mantengamos fijo a B y desplacemos A lateralmente, después dejamos a ambos en libertad. Aunque B parte del reposo al pasar el tiempo este alcanza la frecuencia de vibración de A, para después alcanzar el desplazamiento inicial de A. Este proceso se repite transfiriendo el movimiento de B a A, y así continua. Este tipo de movimiento es similar al de los movimientos armónicos simples de misma amplitud pero frecuencia diferente.

Ahora bien, si desplazamos lateralmente A y B en cantidades iguales y en el mismo sentido, y luego los dejamos en libertad. La distancia del muelle es iguala la distancia de separación entre las partículas por lo tanto el muelle no ejercerá ninguna fuerza sobre ellos, así que, A y B oscilarán en fase y con amplitudes iguales. Cada uno de ellos oscila con una frecuencia natural libre e igual Las ecuaciones de movimiento son

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Siendo y los desplazamientos de cada péndulo a partir de su posición de equilibrio. Esto representa un Modo Normal del sistema acoplado.

El otro Modo Normal que podemos encontrar en este sistema de péndulos aparece si desplazamos A y B lateralmente pero en sentidos opuestos y los dejamos libres. Ahora el resorte de acoplamiento esta deformado y ejercerá esfuerzos al ser comprimido. La simetría del sistema nos indica que los movimientos de los péndulos serán imágenes especulare uno del otro.

Si los péndulos fuesen libres y cualquiera de ellos se desplazara una distancia pequeña , la fuerza restauradora seria . Pero en el caso presente el resorte de acoplamiento esta estirado (o comprimido) una distancia 2 y ejerce una fuerza restauradora , siendo k la constante del resorte. Así pues la ecuación de movimiento para A es:

o bien,

en donde hemos puesto Esta es una ecuación para el movimiento armónico simple de frecuencia dada por

Para la cual dadas las condiciones iniciales su solución es

El movimiento de B es la imagen especular de A y, por lo tanto

Lo anterior prepara el camino para el análisis de sistemas más reales ya que cualquier cuerpo macroscópico real, como un trozo de material sólido, contiene muchas partículas y no solo 2; este es el motivo mas fuerte que se tiene para consideras el problema de un numero arbitrario de osciladores semejante acoplados.

En los dos casos anteriores, una vez que empieza el movimiento, y en ausencia de fuerzas de amortiguamiento, continuara sin ningún cambio. No se producirá ninguna transferencia de energía desde un modo de oscilación a otro. Una razón importante para la introducción es estos dos casos fácilmente resueltos es que cualquier movimiento de los péndulos, en que cada uno de ellos parta del reposo, puede describirse como una combinación de estos dos como a continuación se muestra. Consideremos un instante arbitrario cuando el péndulo A esté en y el péndulo B en . El resorte esta alargado una cantidad y, por lo tanto, tira de A y de B con una fuerza cuya magnitud es . Así pues, la magnitud de la fuerza restauradora sobre A es

y sobre B

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento de A y B son

(3)

Poniendo de nuevo , podemos escribir ambas ecuaciones del modo siguiente

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N OSCILADORES ACOPLADOS

En el presente trabajo nos concentraremos en oscilaciones que puedan expresarse en forma longitudinal pero trataremos a continuación las oscilaciones transversales con el objetivo de facilitar el estudio de sistemas con muchas partículas. En el caso se oscilaciones transversales las partículas oscilas en una dirección perpendicular a las líneas que las une.

Consideremos una cuerda elástica flexible a la que se sujetan N partículas idénticas, cada una de masa m, igualmente distanciada una longitud l. Las partículas se señalan de 1 a N o de 0 a N+1 si incluimos los dos extremos fijos y los consideramos como si fueran partículas con desplazamiento

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