Aproximación numérica

Aproximación numérica: Un estudio realizado por un grupo de estudiantes de ingeniería ambiental de la UMB en el año 2010 determino que t años después, la población de ciertas especies de aves que se encuentran en peligro de extensión disminuirá a una tasa de dA/dt=-3/4 t√(10-1/5 t) individuos por año. para calcular la disminución de la población de las aves entre el año 2020 y el año 2030 se debe evaluar la siguiente integral

A=∫_10^20▒〖-3/4〗 t√(10-1/5 t) dt

Calcule las sumas superiores U y las sumas inferiores L, tomando una partición de 1 unidad y promedie ambas sumas para dar respuesta al ejercicio. (Aspecto a evaluar: #1 aproximación de integrales.)

El primer paso es graficar la función y para esto se tabula para obtener los valores de "x\"" y "y"

Aplicando el metodo de suma de areas por punto inferior en los limites desde 10 a 20 y haciendo

divisiones de 1 se obtiene la sigueinte tabla

Ahora aplicando el metodo de suma de punto superior en los limites desde 10 a 20 y haciendo

divisiones de 1 se obtiene la sigueinte tabla

Ahora se procede a hacer el promedio entre la suma de areas por punto inferior y superior:

Promedio=((-287,21)+(-302,74))/2=-294,97

A=∫_10^20▒〖-3/4〗 t√(10-1/5 t) dt=-294,97u^2

Sumas de Riemann: utilizar la definición de la integral definida por sumas de Riemann para calcular el valor de la integral definida:

∫_(-1)^0▒x^3 -3x^2 dx

El primer paso es graficar la función y para esto se tabula para obtener los valores de "x\"" y "y"

Aplicando el metodo de suma de Areas de punto medio de Riemann en los limites desde

-1 hasta 0 y haciendo divisiones de 0,2 se tiene la sigueinte tabla:

La suma de las áreas de todos los rectángulos es -1,235 u^2

∫_(-1)^0▒x^3 -3x^2 dx=-1,23u^2

3) Teorema fundamental del cálculo para cada ejercicio

a)

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx

El método a utilizar es integral por partes:

∫▒〖udv=uv-∫▒vdu〗

u=1-x ; du=-dx

dv=√x dx ; v=2/3 x^(3/2)

Sustituyendo se obtiene

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(1-x) 2/3 x^(3/2)-∫▒〖2/3 x^(3/2) 〗-dx

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(1-x) 2/3 x^(3/2)+2/3 ∫▒x^(3/2) dx

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(1-x) 2/3 x^(3/2)+(2/3*2/5 x^(5/2))1¦0

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=2/3((1-x) √(x^3 )+2/5 √(x^5 ))1¦0

Evaluando en los limites:

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(2/3((1-(1)) √((1)^3 )+2/5 √((1)^5)))-(2/3((1-(0)) √((0)^3 )+2/5 √((0)^5)))

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(2/3*2/5)-(0)

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=(2/3*2/5)=4/15

∫_0^1▒〖(1-x)√x〗 dx=4/15=0,27

b)

∫_1^3▒〖(x^2+1/x〗) (x^2-3)dx

Aplicando algebra se obtiene:

∫_1^3▒〖(x^2+1/x〗) (x^2-3)dx=∫_1^3▒x^4 -3x^2+x^2/x-3/x

∫_1^3▒〖(x^2+1/x〗) (x^2-3)dx=∫_1^3▒x^4 -3x^2+x-3/x

∫_1^3▒〖(x^2+1/x〗) (x^2-3)dx=〖(x/5〗^5-3〖x/3〗^3+x^2/2-3 ln⁡〖x ) ■(3@1)〗

∫_1^3▒〖(x^2+1/x〗) (x^2-3)dx=〖(x/5〗^5-x^3+x^2/2-3

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