Aproximación Numérica y Errores Definición de métodos numéricos

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01-09-2021

Aproximación Numérica y Errores

Definición de métodos numéricos

Constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas

matemáticos, de tal forma que puedan resolverse

utilizando operaciones aritméticas.

¿Qué herramientas usan los métodos numericos?

• Métodos sin computadora
• Métodos con computadora

Métodos sin computadora

• Soluciones a problemas mediante métodos exactos.
• Solución analítica para una clase limitada de problemas con modelos
  y los que tienen una geometría simple y de baja dimensión.
• Técnicas graficas que se utiliza a menudo para resolver problemas complejos.
• Utilización de calculadoras y reglas de cálculo.
• Gasto de Energía.

Métodos con computadora

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• Ofrece una alternativa para los cálculos complicados.

• Se obtienen soluciones directamente
• No se utilizan técnicas lentas
• Cálculos sin simplificaciones
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Metodos Numéricos y la practica en la ingeniería

Desde finales de la década de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales ha llevado una verdadera explosión en el uso y desarrollo de los métodos numericos.

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Antecedentes Matemáticos

a) raíces de ecuaciones
b) Sistema de ecuaciones
c) optimización
d) Ajuste de curvas
e) integración
f) Ecuaciones diferenciales ordinarias
g) Ecuaciones diferenciales parciales

Error
Aunque con la técnica numérica se obtiene una aproximación a la solución analítica exacta, hay cierta discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos dan sólo una aproximación.

Diferencia entre el valor verdadero y el aproximado.

Tipos de Errores

• Errores de redondeo: Se deben a que la computadora tan solo representa cantidades con un numero finito de dígitos.
   
• Errores de truncamiento: Representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y su aproximación obtenida por un método numérico.
   
• Errores por equivocación: Fallas humanas por lo regular.
   
• Errores de formulación o de modelo: Modelo matemático incompleto.
   
• Error en los datos: Introducción de error por incertidumbre en los datos físicos obtenidos.

Aproximación numérica

Valor mejor o valor cercano al valor exacto o verdadero.

Precisión y exactitud

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero

La precisión se refiere a que tan cercano se encuentran, uno de otros, diversos valores calculados o medidos.

ejemplo:


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[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]Cifras significativas:

Son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable
(número de dígitos que se ofrecen con certeza más uno estimado)

Ejemplo:

Un velocímetro y un odómetro
muestran lecturas de hasta tres y siete cifras significativas.


Error Verdadero

Relación entre el resultado exacto, o verdadero y el aproximado esta dado por

Valor verdadero= valor aproximado +  error

Et = valor verdadero – valor aproximado 

Error relativo verdadero

Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir:

error relativo verdadero = error verdadero / valor verdadero 

el error relativo también se puede multiplicar por 100%

Et=(error verdadero/valor verdadero)*100

Et=[(valor verdadero-valor aproximado)/valor verdadero] * 100

Error aproximado

En muchas aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimación posible al valor verdadera; es decir, para la aproximación misma, como en:

Ea= (Valor aproximado/ valor aproximado) * 100

Ea=[(aproximación actual-aproximación anterior)/aproximación actual] * 100



Nivel aceptable de una aproximación

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada Es. Por lo tanto, es útil emplear el valor absoluto de los errores.  En tales casos, los cálculos se repiten hasta que: [pic 12]

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