Series numéricas

Series numéricas

8.1. Definición y primeras propiedades

Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y comentarios

en [APOSTOL1, cap. 10] y en [DURÁN, pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente,

por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad

73

= 2,333. . . significa

73

= 2+ 3

10

+ 3

100

+ 3

1000

+. . . ,

suma con infinitos sumandos de la forma 3

10n , n ! N. En general, consideraremos una sucesión cualquiera

(an) y su suma Σ∞n=1 an. ¿Qué sentido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impone de

modo natural: Σ∞n=1 an tiene que ser l´ım m"∞

mΣ

n=1

an.

Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de sumandos (an) una

nueva sucesión de sumas (sm) dada por sm = a1 +a2 +···+am, m ! N, y determinar el límite (si

existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:

lugar 1 2 3 4 . . . n . . .

término a1 a2 a3 a4 . . . an . . .

suma a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4 . . . a1+···+an . . . "?

Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué

novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto

de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades

de la sucesión de sumas (sn) basándonos en propiedades de los términos an. Pasemos a formalizar

estas ideas.

8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes

Definición 8.1.1. Una serie Σ∞n=1 an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas por

la condición de que para cada n ! N es

sn = a1+a2+···+an.

171

172 Capítulo 8. Series numéricas

El término n-ésimo de la primera sucesión, an, recibe el nombre de término n-ésimo de la serie; el

término n-ésimo de la segunda sucesión, sn, recibe el nombre de suma parcial n-ésima de la serie.

Se dice que la serie Σ∞n=1 an es convergente si la sucesión (sn) de sus sumas parciales es convergente,

es decir, si

#l´ım m sm = l´ım m

mΣ

n=1

an ! R.

Decimos que la serie Σ∞n=1 an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión de sus

sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente.

Si una serie Σ∞n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesión de sus

sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente.

Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo símbolo que

la serie. Es decir, se escribe

∞Σ

n=1

an = l´ım m

mΣ

n=1

an,

cuando este límite existe.

Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma Σ∞n=m an, donde m es un número entero: las

sumas parciales serán entonces s1 = am, s2 = am+am+1,. . . , sn = am+···+am+n−1, . . .

Se utiliza también la notación am+am+1+···+an+··· en vez de Σ∞n=m an y, cuando no da lugar

a confusión, se abrevia en Σan.

Ejemplo. Una serie Σ∞n=1 an es una serie geométrica si existe un r ! R tal que para todo n ! N es

an+1 =ran (o an+1/an =r si a1 %=0); de otro modo, si es de la forma Σ∞n=0 arn. Si sn es su suma parcial

n-ésima, se tendrá

sn = a+ar+···+arn−1 =

!

a1−rn

1−r si r %= 1

an si r = 1

.

Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:

a) si |r| < 1, la serie

∞Σ

n=0

arn es convergente y la suma es a

1−r ;

b) si r & 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0);

c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas;

d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.

Ejemplo. La serie

∞Σ

n=1

1n

se

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