CAMBIO DE COORDENADAS EN EL ESPACIO

Cambio de coordenadas en R3

Se muestran tres diferentes sistemas ortogonales de coordenadas de uso común.

Coordenadas Rectangulares

En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.

En la siguiente figura , se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.

Coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas se define la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

Las siguientes ecuaciones muestran las matrices de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y de transformación inversa.

Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.

Para estos casos conviene también usar una matriz de transformación a coordenadas cartesianas como la ilustrada en las siguientes ecuaciones, también se muestra la matriz de transformación inversa.

También se pueden hacer transformaciones de coordenadas cilíndricas a esféricas y viceversa combinando las matrices anteriores, obteniendo así las siguientes ecuaciones:

Transformación de coordenadas esféricas a cilíndricas

Matriz de transformación inversa de coordenadas cilíndricas a esféricas.

Traslación y rotación de ejes

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados.

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior.

Rotación de ejes

Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.

Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:

x ´ = x cos + y sen

y´ = - x sen + y cos

Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:

x = x ´ cos - y ´ sen

y = x ´ sen + y cos

Resumen

Traslación de ejes es el cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original.

Rotación de ejes es el cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen.

Bibliografía

http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/t/translationofaxes.htm

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