Calculo vectorial II Cambio de Coordenadas en R3

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Calculo Vectorial

Modulo 3: Geometría Euclidiana Lineal.

Tarea 13: Cambio de Coordenadas en R3

Alumno: Adrian Gutiérrez Perea

Facilitador: Andrés Miranda Martínez

Fecha de entrega: Viernes, 15 de Junio de 2018

El espacio .[pic 6]

Para entender el cambio de coordenadas  debemos entender bien el concepto del espacio , que consiste en el siguiente concepto.[pic 7][pic 8]

Considerando el espacio tridimensional:

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se identifica con el espacio ambiente. Para establecer la correspondencia debemos considerar un eje adicional, normalmente llamado eje , perpendicular al plano formado por el eje x y el eje y; cada punto P del espacio está en correspondencia con un elemento  de .[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

La siguiente imagen nos muestra más claramente esta correspondencia, en el que vemos, como el punto P corresponde con la terna (a,b,c):[pic 14]

Al punto (0,0,0) se le suele llamar el origen de las coordenadas u origen, existen tres planos que resaltan en este espacio que son el plano “xy”, el plano “yz” y el plano “xz”. Al igual que en el espacio bidimensional, hay una identificación natural entre los puntos de  y los vectores en el espacio: al punto (x,y,z) le hacemos corresponder el vector de extremo inicial y de extremo final el punto (x,y,z; el origen de coordenadas se identifica con el vector (0,0,0).[pic 15]

Cuando  decimos que el punto o el vector (x,y,z) se encuentran en el primer octante.[pic 16]

La suma de vectores y el punto por un escalar se definen de manera natural:

Si  y ,[pic 17][pic 18]

 ,[pic 19]

.[pic 20]

Si  entonces  y  tienen el mismo sentido. Si  entonces tenemos que  tienen sentido contrario.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

 Se dice que  y  son paralelos cuando existe tal que .[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

En el caso tridimensional, la suma y diferencia de vectores se puede hacer, de manera geométrica, siguiendo la ley del paralelogramo.

Ejemplo:

Hallar la distancia d entre dos puntos  del espacio, sea  la distancia entre dos puntos  por la formula de distancia en el plano tenemos que:[pic 30][pic 31][pic 32]

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 Es decir:[pic 34]

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Al igual que el espacio bidimensional, dado por un vector , definimos la norma de  como:[pic 36][pic 37]

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Se tiene que  es la distancia del punto (x,y,z) al origen, es decir, la longitud del vector .[pic 39][pic 40]

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Traslación y rotación de ejes en R3.

La traslación permite desplazar un objeto a lo largo de sus dimensiones, como resultado se obtiene un cambio de posición.

Basándose en la idea anterior, se tiene que la translación en R3 implica el desplazamiento de un poliedro, donde cada punto  es trasladado  unidades en el eje ,  unidades en el eje  y  unidades en el eje , de esta forma las coordenadas del nuevo punto  se obtiene como: [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

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Sea el vector de distancias, y T(d) la matriz de traslación, en coordenadas homogéneas la traslación de un punto p en R3 se puede expresar como el punto matricial :[pic 53][pic 54]

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