Caida De Una Esfera En Un Fluido

Caída de una esfera inmersa en un fluido viscoso

1.- Conceptos básicos:

1.1 Viscosidad: La viscosidad es una propiedad macroscópica del fluido, de carácter intensivo (no depende de la cantidad de materia). Es aquella propiedad del fluido por la cual éste ofrece resistencia al corte o cizalle. Las unidades en que se mide la viscosidad surgen de manera natural al aplicar la llamada Ley de Newton: al aplicar un esfuerzo de corte sobre un fluido, el gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo aplicado:

Es decir:

Usando las dimensiones F, L, T para fuerza, longitud y tiempo:

: FL-2 v: LT-1 y : L

se muestra que tiene las dimensiones FL-2T. En el sistema MKS, las unidades de la viscosidad son por lo tanto Ns/m2.

Observación: siempre es posible plantear la Ley de Newton de la forma aquí expuesta, sin embargo, la viscosidad sólo será una constante para los llamados “fluidos newtonianos” (el agua es uno de ellos). En el caso más general, la viscosidad dependerá de alguna potencia de la rapidez de deformación. La ciencia que estudia dichas relaciones se denomina “Reología”.

1.2 Tensión superficial: En la interfase entre un líquido y otra sustancia (líquido o gas) se forma una película especial, debido a la atracción de las moléculas que están en el seno del fluido. El efecto observado es que dicha película presenta una resistencia a la deformación, similar a una membrana elástica. La tensión que opone esta película es la llamada “tensión superficial”. Alternativamente, la tensión superficial puede entenderse como una “energía por unidad de área interfacial”.

Las unidades de la tensión superficial son: F/L o bien E/L2. En el sistema MKS, corresponden N/m.

1.3 Fuerza de Flotación: La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático, en el cual está sumergido total o parcialmente, se denomina fuerza de flotación. Esta siempre actúa verticalmente hacia arriba. Se demuestra a continuación, de manera muy simple, que dicha fuerza corresponde al peso de fluido desplazado por el cuerpo, la llamada “Ley de Arquímedes”.

Considere la siguiente figura:

La fuerza vertical ejercida sobre un elemento del cuerpo de sección dA es:

donde  es el peso específico del cuerpo. Integrando las contribuciones de todos los elementos:

1.4.- Número de Reynolds: En mecánica de fluidos, la aplicación del análisis dimensional lleva a la definición de un número adimensional, llamado número de Reynolds, que se define como:

donde ,, son la velocidad, densidad del fluido y viscosidad de éste respectivamente. “L” en cambio, representa una longitud característica del fenómeno. En el caso de una esfera, dicha longitud es el diámetro “D”:

Físicamente, el número de Reynolds es un cuociente entre las fuerzas inerciales (asociadas a la velocidad) y las fuerzas de resistencia viscosa (asociadas a la viscosidad).

1.5.- Fuerza de arrastre: Un cuerpo inmerso en un fluido, que se desplaza con velocidad relativa no nula respecto de éste, sufre una fuerza de resistencia al movimiento, debida al efecto neto de la presión ejercida por el fluido y del esfuerzo de corte producido por la viscosidad del fluido. La fuerza resultante de ambas contribuciones se denomina “arrastre”. La expresión más general para el arrastre sobre cuerpos sumergidos es:

donde A es el área normal proyectada en la dirección del flujo, U la velocidad,  la densidad y CD es el “coeficiente de arrastre”. Este último es un número adimensional, que es función de la forma del cuerpo y del número de Reynolds. En el caso particular de esferas en régimen laminar, es decir para números de Reynolds<1, se aplica la ley de Stokes:

Esto es equivalente a:

2.- Ecuación de movimiento para una esfera inmersa en un fluido

Considere el siguiente diagrama de cuerpo libre para la esfera:

De acuerdo a lo expuesto en la sección precedente, resulta claro que las fuerzas que actúan sobre la esfera cuando esta “cae” a través del fluido son el peso, la flotación y el arrastre, según se aprecia en la figura. Aplicando entonces la segunda ley de Newton, se tiene:

(1)

Notar que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad, por lo que esta componente va aumentando a medida que el cuerpo se desplaza. De este modo, si transcurre el tiempo suficiente, la esfera alcanzará una velocidad constante, llamada “velocidad terminal”, cuya expresión puede obtenerse directamente de la ecuación (1) al anular el término de la aceleración:

(2)

Luego de un despeje directo, se obtiene de (2):

Donde  = peso específico de la esfera – peso específico del fluido.

Por otro lado, también es posible resolver la ecuación (1) si se conoce la velocidad inicial de la esfera, digamos U(t=0) = U0. Para ello, resulta conveniente reescribir la ecuación (1) en la forma:

Notar que el factor que multiplica a la velocidad U tiene unidades de tiempo-1. Se define entonces:

La ecuación diferencial para la velocidad toma entonces la forma:

La solución de esta ecuación puede obtenerse separando variables e integrando, de la siguiente manera:

Despejando U(t) de la expresión anterior, se obtiene:

Notar además que la constante en el segundo término de la derecha es precisamente la velocidad terminal Uf, por lo tanto:

(3)

La constante  definida anteriormente constituye un tiempo característico de este sistema, en otras palabras, para t> la velocidad será prácticamente igual a la velocidad terminal. Una manera simple de ver esto es desarrollar las exponenciales en (2) en serie de Taylor hasta el término lineal:

Reemplazando en (3), se tiene:

Evaluando esta expresión aproximada en t=, se tiene U(t=)Uf .

Considere a continuación el siguiente ejemplo:

Una esfera de diámetro D y masa m, es soltada desde una altura ho sobre la superficie de un líquido estático, de altura total H, densidad , viscosidad  y tensión superficial . Suponiendo despreciable la fricción del aire sobre la esfera, se desea conocer la velocidad de ésta en función del tiempo, a través de toda la trayectoria recorrida. Se quiere estimar también la distancia recorrida por la esfera dentro del fluido antes de alcanzar la velocidad terminal.

Solución: Para el tramo a través del aire, si despreciamos la fricción, la esfera realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es decir:

0<y<ho

La distancia recorrida por la esfera está dada entonces por la expresión:

La segunda expresión puede reemplazarse en la primera, para obtener la velocidad en función de la posición:

Por lo tanto, “justo antes” de tocar la superficie del líquido, la esfera alcanza una velocidad:

Por lo discutido en la primera parte respecto de la tensión superficial, sabemos que al “chocar” la esfera con la superficie del fluido, esta última ofrecerá una resistencia sobre la esfera de manera similar a una membrana elástica que se rompe debido al impacto. La situación dinámica detallada es bastante compleja, por lo que no se utilizará ese enfoque en este caso. Una manera alternativa para estimar el efecto de la tensión superficial sobre la esfera es la interpretación de aquella como una energía por unidad de área interfacial. Para ello, considere la figura a continuación, que representa la situación justo antes del choque, y en el instante en que la esfera está casi completamente sumergida :

Puede aplicarse el principio de conservación de la energía entre ambos eventos, tomando en cuenta como sistema a la esfera junto con la superficie del líquido (supeesto estático). Para ello, es necesario considerar la disipación de energía en forma de calor, como también la energía cinética transferida al fluido (que se manifestará en una agitación turbulenta alrededor del punto de impacto). Si E1 y E2 son las energías del sistema esfera/superficie en los instantes 1 y 2 representados en la figura, se tiene:

Por otro lado, E1 y E2 involucran las siguientes componentes:

E = (ECinética + EPotencial)esfera + ESuperficie Fluido

En el primer caso, tomando como altura de referencia la superficie del líquido, se tiene:

E1 = mU12/2 + mgD/2 + Aire/LíqA (A: superficie total interfase líquido/aire)

En el segundo caso, en cambio:

E2 = mU22/2 -mgD/2+ Aire/LíqA+Acero/LíqD2

Aplicando el balance de energía, se tiene:

Luego de un poco de álgebra, se obtiene una expresión para la energía disipada como consecuencia del impacto de la esfera sobre la superficie, en función de las velocidades medidas “justo antes” y “justo después” de la inmersión:

Una vez inmersa la esfera en el líquido, la expresión para la velocidad es (3), con U0 =U2. Para saber la distancia recorrida por la esfera, dentro del líquido, antes de alcanzar la velocidad terminal, se integra la ecuación para la velocidad entre t=0 y el tiempo característico t= :

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