Colaborativo 3 Calculo Integral

17. hallar la longitud del arco de la curva y= 3x^(3/2) desde x= 0 y x= 4

Aplicamos la fórmula de la longitud:

L= ∫_a^b▒√(2& 1+[f'(x)]^2 ) dx

f(x)=3x^(3/2) f'(x)=3(3/2) x^(3/2-1) f'(x)=9/2 x^(1/2)

Reemplazamos en la formula=

l=∫_0^4▒√(1+ [9/2 x^(1/2) ]^2 ) dx l=∫_0^4▒√(1+ 81/4 x ) dx

l=∫_0^4▒√((4+81x)/4 ) dx Sacamos el 4 que está dividiendo de la integral l=1/2 ∫_0^4▒√(4+81x ) dx l=1/2 ∫_0^4▒(4+81x)^(1/2) dx

Realizaremos cambio de variable

u=4+81x du=81dx du/81=dx dx=du/81

Sustituimos variables:

l=1/2 ∫_a^b▒u^(1/2) du/81 Sacamos el 81 de la integral = 1/(2×81) ∫_a^b▒u^(1/2) du

l=1/162 [u^(3/2)/(3/2)]_b^a Sacamos 3/2 de la evaluación

l=(2×1)/(3×162) [u^(3/2) ]_b^a l=2/486 [u^(3/2) ]_b^a l=2/486 [u^(3/2) ]_b^a l=1/243 [u^(3/2) ]_b^a

Remplazamos U: u=4+81x

l=1/243 [(4+81x)^(3/2) ]_0^4 Evaluamos límites

l=1/243 [(4+81(4))^(3/2) ] - 1/243 [(4+81(0))^(3/2) ]

l=1/243 [(4+324)^(3/2) ] - 1/243 [(4+0)^(3/2) ]

l=1/243 [(328)^(3/2) ] - 1/243 [(4)^(3/2) ] resolvemos las dos operaciones.

l=24,44581338 - 0,03

l=24,41

19. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de Q artículos, está dado por la expresión E.C=∫_0^Q▒〖D(x)dx-QP〗

Excedente del consumidor de un producto a un precio de $5.000 cuya ecuación de la demanda está dada por D(X)=(〖X+8)〗^2 , es.

E.C=∫_0^Q▒〖D(x)dx-QP〗

Igualamos para encontrar el punto crítico

Precio = demanda

5000=(〖x+8)〗^2

√5000=x+8 50√2=x+8 50√2-8=x

62,7=x

Entonces sería

E.C=∫_0^Q▒〖D(x)dx-QP〗

∫▒〖(〖x+8)〗^2 dx - 〗 1(5000)dx

E.C=1/3(〖X+8)〗^3-5.000x

E.C=1/3(〖62,7+8)〗^3-5.000(62,7)

...