Concepto y definici´on de lımite

Limites

1. Concepto y definici´on de l´ımite

Concepto

Como cualquier otro concepto, la noci´on de l´ımite nace de una serie de ideas que en conjunto lo constituyen. El l´ımite expresa las ideas de acercamiento, frontera y secuencia. Estas ideas son totalmente intuitivas y surgen  de  un  an´alisis  de  la  realidad,  es  decir,  son  naturales,  ya  que  solo  basta  responder  a  la  pregunta

¿qu´e pasa cu´ando nos acercamos cada vez m´as a un determinado lugar? Si partimos del supuesto que en primera nos encontramos en un lugar distinto, la u´nica manera de llegar al punto es acercanos por medio de una secuencia de pasos hasta alcanzar el objetivo. Puede suceder (o no) que dicho punto se encuentra detr´as de una pared que no podemos cruzar, entonces el punto se encuentra detr´as de una divisi´on; algo que nos limita a alcanzar nuestro objetivo, un l´ımite o frontera. Es as´ı que podemos concebir el concepto de l´ımite como:

L´ımite es la concepci´on intuitiva de aproximaci´on hacia un punto fijo, a medida que nos acercamos por una secuencia finita de pasos.

Definici´on

Sea una recta real T donde consideraremos una entorno reducido ER con centro t0 y radio δ (ver figura 1). Sea f˙ una funci´on que determina un punto del plano para un u´nico elemento del entorno reducido. Esto es, para cualquier ti dentro del intervalo, existe un u´nico elemento en el plano. Tambi´en exigimos que en t0 (el centro del entorno reducido) la funci´on sea punto de acumulaci´on1  de su dominio, en otras palabras, cada una de sus componentes ( funciones escalares) tienen en t0 un punto de acumulaci´on.

Previamente  establecimos  un  entorno  reducido  sin  raz´on  aparente  pero  sea  hizo  porque  puede  sueceder que f˙ no est´e definida en dicho punto, y al definir un entorno reducido, descartamos su centro.

Tambi´en, decimos que la imagen de cada punto del entorno reducido se expresa como

f˙(t) = < f1(t),  f2(t),  ... , fn(t)  >

La interpretaci´on de la gr´afica es totalmente intuitiva. Dado cualquier valor para ε se tiene un vector f˙(ti)

pr´oximo al vector l´ımite L˙  y la distancia entre ellos es siempre menor que el ε dado. Consecuentemente a

la elecci´on de un ε tenemos un δ(ε) que forma un entorno reducido con centro en L˙ en ER.

y radio ε para todo ti

[pic 1]

[pic 2]

1Un  punto  x0  cualesquiera,  es  punto  de  acumulaci´on  de  un  conjunto  si  para  todo  entorno  reducido  con  centro  en  x0  se

tiene intersecci´on no vac´ıa con el conjunto.

[pic 3]

Figura 1: Representaci´on geom´etrica del l´ımite de una funci´on vectorial.

1. Concepto y definici´on de continuidad

Concepto

Intuitivamente se puede decir que algo es continuo si no presenta saltos o huecos. Un ejemplo de continuidad es  la  de  una  curva  trazada  con  un  l´apiz,  de  la  cual  decimos  que  es  continua  si  se  puede  dibujar  sobre  el papel sin levantar el l´apiz.

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