Conducción De Calor Bidimensional

CONDUCCIÓN DE CALOR BIDIMENCIONAL EN ESTADO ESTABLE.

Considere un sólido prismático largo en el que los efectos de conducción en dos dimensiones son importantes (figura 4.1). Con dos superficies aisladas y las otras a diferentes temperaturas. T1 > T2, la transferencia de calor por conducción ocurrirá de superficie 1 a la 2. De acuerdo con la ley de Fourier. Ecuación 2.3 o 2 4, el flujo k de calor en el sólido es un vector que en todas partes es perpendicular a las líneas temperatura constante (isotermas). Las direcciones del vector flujo de calor se reasentan mediante las líneas de flujo de calor de la figura 4.1 y el vector mismo de los componentes del flujo de calor en las direcciones x y y. Estos componentes determinados por la ecuación 2.6.

Recuerde que. En cualquier análisis de conducción, hay dos objetivos principales, primero es determinar la distribución de temperaturas en el medio que. Para el problema actual, necesita determinar T (x.y) Este objetivo normalmente se logra resolviendo la forma apropiada de la ecuación de calor. Para condiciones de estado estable en dos dimisiones sin generación y con una conductividad térmica constante, esta forma es. De ecuación 2.16.

(∂^2 T)/(∂x^2 )+(∂^2 T)/(∂y^2 )=0 (4.1)

Si la ecuación 4.1 se resuelve para T(x, y), es entonces asunto sencillo satisfacer el segundo objetivo principal, que es determinar las componentes de flujo de calor y con la aplicación de las ecuaciones de flujo (2.6). Los métodos para resolver la ecuación 4.1 incluyen los enfoques analíticos. Gráfico y numérico (el de diferencias finitas, elemento finito o de elemento de frontera).

El método analítico implica obtener una solución matemática exacta a la ecuación.

El problema es más difícil que los planteados en el capítulo 3, pues ahora implican una ecuación diferencial en derivadas parciales, en lugar de una ordinaria. Aunque se dispone de varias técnicas para resolver estas ecuaciones, las soluciones implican típicamente ecuaciones y funciones matemáticas complicadas que es posible obtener solo para un conjunto restringido de geometrías simples y condiciones de Frontera (1-5) No obstante, las soluciones son de valor considerable, pues la variable dependiente T se determina como una función continua de las variables independientes (X, Y). Por tanto, la solución es útil para calcular la temperatura en c alquicer punto de interés en el medio. Para ilustrar la naturaleza e importancia de las técnicas analíticas, en la sección 4.2 se obtiene una solución exacta de la ecuación 4 .1 mediante el método de separación de variables.

En contraste con los métodos analíticos, que proporcionan resultados exactos en cualquier punto, los métodos gráfico y numérico proporcionan solo resultados aproximados en puntos di si teros. Sin embargo, como los métodos se adaptan a geometrías complejas y condiciones de frontera, a menudo ofrecen los únicos medios para resolver problemas de conducción multidimensional. El método gráfico o de trazo del flujo, (sección 4.3) sirve de estimación aproximada del campo de temperaturas, mientras que el método numérico (secciones 4.4 y 4.5) se utiliza para obtener resultados extremadamente precisos en cuanto a geometrías complejas.

Método De Separación De Variables.

A fin de apreciar cómo se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en dos dimensiones, consideremos el sistema de la figura 4.2. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1. Mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T2 ≠T1 Estamos interesados en la distribución de temperaturas T (x. y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación.

θ=(T-T_1)/(T_2-T_1 ) (4.2)

Al sustituir la ecuación 4.2 en ecuación 4.1, la ecuación diferencial transformada es:

Fig. 4.2 Conducción bidimensional en una placa rectangular.

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y. se necesitan dos condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son:

Advierta que, a través de la transformación de la ecuación 4.2, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de θ está restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales dependen solo de X mientras que la otra depende solo de Y es decir, suponemos la existencia y una solución de la forma

Al sustituir en la ecuación 4.3 y dividir entre X, Y, obtenemos.

Y es evidente que la ecuación diferencial es. De hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de X y el lado derecho solo de Y. Así la igualdad se aplican en genera] (para cualquier X o Y) solo si ambos lados son iguales a la misma constante, para identificar esta constante de separación — hasta ahora desconocida — como λ2, tenemos

Y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que el significado de λ2, como una constante positiva no fue arbitraria. Si se relacionara un valor negativo o se eligiera un valor λ2 = 0, sería fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.

Las soluciones generales a las ecuaciones 4.6 y 4.7 son. Respectivamente.

En cuyo caso la forma general de la solución en dos dimensiones es

Al aplicar la condición que θ (0, y) = 0. Es evidente que C1 =0. Además del requerimiento de que θ (X, 0) = 0. Obtenemos:

Que solo se satisface si C3 = -C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacer con C2 =0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de C2=0 por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento 0(L, y) = 0. Obtenemos:

La única forma de satisfacer esta condición (y aun tener una solución aceptable λ es hacer que A tome valores discretos para los que san λL = 0. Estos valores deben entonces, ser de la forma

Donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como:

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos:

Donde también hemos utilizado el hecho de que (e^(nπy/L)-e^(-nπy/L) )=2 sinh⁡〖(nπy/L)〗. En la forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el problema es lineal, se obtiene una solución más general a partir de una superposición de la forma:

Para determinar Cn„ aplicamos ahora la condición de frontera restante, que es de la forma

Aunque la ecuación 4.12 parecería ser una relación extremadamente complicada para evaluar Cn, se dispone de un método estándar. Este implica escribir una expansión en serie infinita análoga en términos de funciones ortogonales. Un conjunto infinito de funciones

g1(X), g2(X)…..gn(X) se dice que es ortogonal en el dominio a <= X <= b si

Muchas funciones exhiben ortogonalidad. Incluidas las funciones trigonométricas. Su utilidad en el problema actual radica en el hecho de que cualquier función f (X) se expresa en términos de una serie infinita de funciones ortogonales

La forma de los coeficientes A n en esta serie se determina multiplicando cada lado de ecuación por g„(x) e integrando entre los límites a y b.

Sin embargo, de la ecuación 4 13 es evidente que todos excepto uno de los términos ene lado derecho de la ecuación 4.15 deben ser cero, lo que nos deja con:

De aquí

Las propiedades de las funciones ortogonales sirven para resolver la ecuación 4.1 para Cn, a través de una serie infinita análoga para la forma apropiada de f(X). De la ecuación 4 12 se desprende que debemos elegir F(X)= 1 y la función ortogonal gn(X) = (m. pi .x/L). Al sustituir en la ecuación 4.16 obtenemos.

Por tanto, de la ecuación 4.14. Tenemos

que es simplemente la expansión de la unidad en una serie de Fourier Al comparar, ecuaciones 4.12 y 4.17 obtenemos

Al sustituir la ecuación 4.18 en la ecuación 4.11, obtenemos entonces la solución final.

La ecuación 4.19 es una serie convergente, de la que el valor de 0 se calcula para cualquier .X y Y. Los resultados representativos se muestran en forma de isotermas para un esquema de la placa rectangular (figura 4.3). La temperatura T, que corresponde a un valor de 0, se puede obtener con la ecuación 4.2. En la bibliografía (1-5) se proporcionan soluciones exactas para otras geometrías y condiciones de frontera.

FIG. 4.13 Isoterma para la conducción bidimensional en una cara plana rectangular.

4.3 Método Grafico.

El método grafico se emplea para problemas bidimensionales que incluyen fronteras adiabáticas e isotérmicas. El planteamiento demanda algo de paciencia y talento artístico (sin mencionar el uso de papel grueso y una buena goma de borrar) y ha sido reemplazado en gran medida por las soluciones de computadora que

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