CONDUCCION BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTABLE

Índice:

Introducción…………………….…………………1

Método analítico conducción bidimensional………5

Método grafico conducción bidimensional…..……9

Introducción

La conducción de calor es un mecanismo de transferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas.

La conducción del calor es muy reducida en el espacio vacío y es nula en el espacio vacío ideal, espacio sin energía.

El principal parámetro dependiente del material que regula la conducción de calor en los materiales es la conductividad térmica, una propiedad física que mide la capacidad de conducción de calor o capacidad de una substancia de transferir el movimiento cinético de sus moléculas a sus propias moléculas adyacentes o a otras substancias con las que está en contacto. La inversa de la conductividad térmica es la resistividad térmica, que es la capacidad de los materiales para oponerse al paso del calor

Se pueden usar los diagramas de temperatura transitoria y las soluciones analíticas presentados con anterioridad con el fin de determinar la distribución de temperatura y la transferencia de calor en problemas unidimensionales de conducción de calor asociados con una pared plana grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semi infinito. Por medio de un procedimiento de superposición llamado solución producto, también se pueden usar estos diagramas con el fin de construir soluciones para los problemas bidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio que se encuentran en configuraciones geométricas como un cilindro corto, una barra rectangular larga o un cilindro o placa semi infinitos, e incluso problemas tridimensionales asociados con configuraciones como un prisma rectangular o una barra rectangular semi infinita, siempre que todas las superficies del sólido estén sujetas a convección hacia el mismo fluido a la temperatura T∞ , como el mismo coeficiente de transferencia de calor, y que el cuerpo no genere calor. En esas configuraciones geométricas multidimensionales, la solución se puede expresar como el producto de las soluciones para las configuraciones geométricas unidimensionales cuya intersección es la geometría multidimensional

Considere un cilindro corto de altura a y radio ro inicialmente a unatemperatura Ti No hay generación de calor en el cilindro. En el instante t = 0 el cilindro se sujeta a convección desde todas las superficies hacia un medio a la temperatura T∞, con un coeficiente de transferencia de calor h. La temperatura dentro del cilindro cambiará con x así como con r y el tiempo t, ya que se tiene transferencia de calor desde las superficies superior e inferior del cilindro así como desde su superficie lateral. Es decir,

T = T(r, x, t) y, por consiguiente, éste es un problema bidimensional de conducción de calor en régimen transitorio. Cuando se supone que las propiedades son constantes, se puede demostrar quela solución de este problema bidimensional se puede expresar como

Es decir, la solución para el cilindro corto bidimensional de altura y radio ro es igual al producto de las soluciones sin dimensiones para la pared plana unidimensional de espesor a y el cilindro largo de radio ro, las cuales son las dos configuraciones geométricas cuya intersección es el cilindro corto, Esto se generaliza como sigue: la solución para una configuración geométrica. Multidimensional es el producto de las soluciones de las geometrías unidimensionales cuya intersección es el cuerpo multidimensional

CONDUCCION BIDIMENCIONAL

La transferencia de calor en estado estacionario en sistemas en que los gradientes de temperatura y área podían expresarse en términos de una coordenada espacial. Ahora deseamos analizar el caso más general del flujo de calor bidimensional

CONDUCCION BIDIMENSIONAL BAJO CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

1.- Método Analítico: Separación de Variables

A fin de apreciar como se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1≠ T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación

θ≡(T- T1)/( T1- T2)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (δ2T/δx2)+ (δ2T/δy2)=0, la ecuación diferencial transformada es:

(δ2θ/δx2)+ (δ2θ/δy2)=0

Y

T2, θ=0

W

T1, θ=0 T1, θ=0

0

X

0 T1, θ=0

Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son

θ(0,Y) = 0 y θ(X,0) = 0

θ(L,Y) = 0 y θ(X,W) = 0

Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de θ esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma

θ(X,Y) = X(x)*Y(y)

Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos

-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)

Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación -hasta ahora desconocida- como λ2, tenemos:

d2X/dx2 + λ2X = 0

d2Y/dy2 + λ2Y = 0

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de λ2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de λ2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.

Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,

X = C1cosλx + C2senλx

Y = C3e-λy + C4e-λy

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es

θ = (C1cosλx + C2senλx)( C3e-λy + C4e-λy)

Al aplicar la condición que θ (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. además el requerimiento que θ (x,0) = 0, obtenemos

C2senλx(C3 +C4) = 0

Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento θ(L,Y) = 0, obtenemos

C2 C4 senλL(eλy -e-λy) = 0

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que λ tome valores discretos para los que senλL = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma

λ = (nЛ/L) n = 1,2,3,…

donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

θ = C2 C4 sen (nЛx/L) (enЛy/L -e nЛy/L)

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