Cuestionario de matematicas. Derivada de funciones

Nombre: Santiago Vèlez

Tema 1: Derivada de Funciones

1. Es el valor del límite del cociente de incrementos: f'(x) = limₕ→0 (f(x+h) - f(x)) / h.

2. f(x) = 3x² - 5x + 2 → f'(x) = 6x - 5

3. f(x) = x⁴ - 2x³ + x - 5 → f'(x) = 4x³ - 6x² + 1

4. f(x) = (2x² + x)(x² - 3) → Regla del producto: f'(x) = (4x + 1)(x² - 3) + (2x² + x)(2x)

5. f(x) = x³ - 4x² + 6 → f'(x) = 3x² - 8x

6. f(x) = (x² - 3x)⁴ → f'(x) = 4(x² - 3x)³(2x - 3)

7. f(x) = x⁵ - 2x² + 7 → f'(x) = 5x⁴ - 4x

8. f(x) = (3x + 1)(x² - 4) → f'(x) = 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x)

9. f(x) = 3x² / (x + 1) → f'(x) = [(6x)(x + 1) - 3x²(1)] / (x + 1)²

10. f(x) = x⁴ - 2x² + 1 → f''(x) = 12x² - 4

Tema 2: Derivada por Definición

11. f(x) = x² → f'(x) = limₕ→0 [(x + h)² - x²] / h = 2x

12. f(x) = 3x³ - 5x² → f'(x) = limₕ→0 [f(x+h) - f(x)] / h = 9x² - 10x

13. f(x) = c → f'(x) = limₕ→0 (c - c) / h = 0

14. f(x) = 2x + 1 → f'(x) = limₕ→0 [2(x + h) + 1 - (2x + 1)] / h = 2

Tema 3: Aplicaciones de la Derivada en Física

15. s(t) = 4t² + 2t - 5 → v(t) = 8t + 2, a(t) = 8

16. s(t) = t³ - 3t² + 2 → v(t) = 3t² - 6t, a(t) = 6t - 6; en t = 2: v = 0, a = 6

17. Posición: ubicación, Velocidad: derivada de la posición, Aceleración: derivada de la velocidad

18. v(t) = 3t² - 6t → a(t) = 6t - 6

19. s(t) = -t³ + 6t² → v(t) = -3t² + 12t, a(t) = -6t + 12 → máxima velocidad en t = 2

Tema 4: Límites Finitos e Infinitos

20. limₓ→2 (x² - 4)/(x - 2) = 4

21. limₓ→0 (x² + x)/x = 1

22. limₓ→∞ (3x² + 1)/(x² - 5x) = 3

23. limₓ→-∞ (2x - 1)/(x + 4) = 2

24. limₓ→1 (√(x + 3) - 2)/(x - 1) = 1/4

25. Límite finito: se aproxima a un número real; Límite infinito: crece o decrece sin límite.

26. Ejemplo: limₓ→0 (1/x) no existe, pues tiende a +∞ o -∞ dependiendo del lado.

Tema 5: Cónicas - Circunferencia y Elipse

27. General: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → Canónica: (x - h)² + (y - k)² = r²

28. x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 → (x - 3)² + (y + 2)² = 25 → Centro: (3, -2), Radio: 5

29. (x²/9) + (y²/4) = 1 → Centro: (0, 0), Vértices: (±3, 0), Focos: (±√5, 0)

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