Funcion Matematica

UNIVERSIDAD DE LA COSTA

TRABAJO

CLASES DE FUNCIONES.

PRESENTADO POR: ROGER PÉREZ CASTRO

PROGRAMA: INGENIERÍA ELÉCTRICA

Grupo: LD CALCULO DIFERENCIAL

DOCENTE. CARLOS MONSALVE RODRÍGUEZ

BARRANQUILLA-ATLANTICO

14/02/13

Introduction

Man since the beginning of mankind, in their quest to discover, transform and turn around their environment has discovered methods, systems that have been helpful to society, the mathematical world has received great contributions from its origin within of them we can mention Paul Leonhard Euler Physicist and mathematician is considered the leading mathematician of S. XVIII and as one of the greatest of all time, was introduced much of the terminology and mathematical notation, mainly in the area of mathematical analysis, such as mathematical function, that function is the area that we address in this job.

This work aims to show the different types of mathematical functions, and the application that is given to each of them, in addition to its importance in the world of mathematics and everyday life. For students is helpful to know the different kinds of mathematical functions, besides knowing how to apply and use, to end in the field of mathematics and engineering are of great importance.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA: se conoce cómo función uno a uno, se caracteriza porque a cada preimagen en X ϵ A le corresponde una y solo una imagen Y ϵ B, lo cual se resume así X1 ≠ X2, entonces f(X1) ≠ f (x2) para todo X1 y X2 en el dominio.

FUNCION COMPUESTA: dadas dos funciones F: A →B y B→C, tales que el conjunto final de F coincide con el dominio de g, se llama funcion compuesta de f con g a la funcion g o f : A→c dada por (g o f)(x) = g(f(x)).

El dominio de la función compuesta es la intersección de los dominios de la función interna o interna con el da la función resultante.

FUNCION SOBREYECTIVA: una función

F: A→ B es sobreyectiva si y solo si todo elemento del conjunto B es imagen de algun elemento del conjunto A:

FUNCION BIYECTIVA : una funcion F: A→B es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo real: el costo de producir un determinado numero de latas cilindricas de jugo concentrado depende del area de la lamina recortada, según la relacion C =5A^ 2/3 y a su vez el area depende del radio del cilindro requerido, según la formula A=2πRh + 2πR^2 donde R es el radio de la tapa del cilindro y h es su altura constante.

h

h

se pide hallar la funcion que relacione el costo de produccion con el radio de la tapa del cilindro para una altura de 10 cm. Y el costo de producir un determinado numero determinado numero de latas de radio 10cm.

Solucion:

C =f(A) = 5A^2/3 y A = g(R) = 2πR(10)+2πR^2 = 20πR + 2πR^2. El problemapidehallar C = f(g(R)) = (fog)(R), entonces C=f(20πR+2πR^2), de donde C=(fog)(R) = 5(20πR+2πR^2)^ 2/3 para un radio de 10 cm. El costo de la producción en pesos será, C (fog) (10)= 5 (200π +200π) ^ 2/3 = 5 (400π)^ 2/3 $ = 582,25

FUNCIÓN INVERSA: la función inversa no existe por sí sola, si no que se relaciona con otra que se llama función directa. Para que una función sea inversa es necesario que sea biyectiva, es decir, que sea uno a uno y sobre mediante esa condición se da una reversión entre las preimagenes y las imágenes.

f-^(1 ): B ------------> A, XY = f-^(1 )(X)

Para la función inversa los rayos que en la función directa van del conjunto A (dominio) al conjunto B (rango) se invierten, o sea que van del conjunto B, que pasa a ser dominio, al conjunto A que pasa a ser rango, esto es posible porque al ser función uno a uno, cumple las dos condiciones para la obtención de la función inversa.

FUNCION MONÓTONA: una función es monótona si siempre es creciente o decreciente.

FUNCIÓN CRECIENTE: una función es creciente en un intervalo o en su dominio si cumple la siguiente condición f(X1) ≤ f(X2) si y solo si X1 ≤ X2 para todo X1 y X2 pertenecientes al dominio o al intervalo.

La función y = 2x + 5 es creciente en los números reales.

FUNCIÓN DECRECIENTE: una función es creciente en un intervalo o en su dominio si cumple la siguiente condición f(X1) ≥ f(X2) si y solo si X1 ≥ X2 para todo X1 y X2 pertenecientes al dominio o al intervalo.

La función y = -x^3 + 1 es decreciente en los números reales.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: se caracteriza porque su rango está conformado por imágenes siempre positivas, la función valor absoluto tradicional es la lineal, en esta misma función el rango son todos los números reales.

FUNCION DEFINIDA POR TRAMOS: la funcion definida por tramos, se define en terminos generales, como una funcion que esta formada a su vez por serie de funciones cuyos diminios estan fgraccionados por intervalos.

Donde g(X), h(X), j(X) pueden ser cualquier tipo de funciones que nunca se traslapan, es decir, no se superponen una función con la función siguiente, ya que sus dominios respectivos no lo permiten. El dominio de estas funciones es la unión de los dominios de las funciones componentes.

FUNCIÓN MAYOR ENTERO: la función mayor entero tradicional es la lineal, se caracteriza porque su dominio son todos los números reales y su rango son todos los enteros, sin embargo existen otras funciones de este tipo que no son lineales pero cumplen la definición y en este caso se altera el dominio y el rango. La función mayor entero o parte entera se denota como si la preimagen varía entre dos enteros consecutivos, su correspondiente imagen toma el entero inmediatamente menor (n), esto significa que si por ejemplo -4<x<-3, entonces lxl = y = -3, y así para cualquier otro intervalo

FUNCIÓN SIGNO: la característica fundamental de esta función, es que su rango está conformado solo por tres elementos que representan los signos positivos y negativos: .1, 0, +1. El dominio está conformado por todos los números reales. Se define como

Su grafica es:

Ejemplo: halla el dominio y rango de para solucionar este ejercicio se aplica la definición de valor absoluto.

1/4 x^2+3/2 x-7/4≥0 → x^2+6x-7≥0, se completa cuadrados x^2+6x+9≥16 ,(x+3)^2≥16 esto implica que (x+3)≥4 si y solo si(x+3)≥4 o (x+3)≤-4, la solución de esta inecuación es (x≥1) o (x≤-7), la otra solución de esta inecuación es (-7<x<1).

Al redefinir la función se tiene que:

El dominio de esta función es:

FUNCIÓN POLINOMICA: la función polinomica se caracteriza porque está formada por un polinomio algebraico con un exponente que son números naturales, la forma general de la ecuación de una función polinomica es:

Donde a1, con ¡=0,1,2,3,4,…son los coeficientes constantes y X es la variables independiente

, es una función polinomial de grado 5.

FUNCIÓN CONSTANTE: su principal característica es que el rango tiene un solo elemento, su grafica es una recta paralela al eje x. se define a partir de la polinomial general con n=0, es decir Y = p(x)= au , el dominio de esta función es el conjunto de todos los numero reales.

Ejemplo: y=3; y= -1; y= 1/5; y= -√3

FUNCIÓN LINEAL: Se llama función de proporcionalidad directa o simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x, y). Su ecuación

Tiene la forma y = mx o f(x) = mx,

el factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función. Las funciones lineales son polinomios de primer grado EJ: a(x)= 2x+7; b(x)= -4x+3; f(x) = 2x+5+7x +3. El dominio de la función lineal son todos los números reales.

Ejemplo Real: en condiciones de mercado adecuadas a la ley de oferta y la demanda de la producción de cierta marca de bicicletas esta por la ecuación, oferta 30x – y + 300 = 0 y demanda, 325x + 2y – 16000 = 0, donde x, es el precio e dólares, por cada bicicletas y Y, es el número de bicicletas producidas y vendidas.

A) ¿en cuál punto el número de bicicletas producidas es mínimo?

B) ¿en cuál punto el precio es tan elevado que no se venden las bicicletas?

C) encontrar el punto de equilibrio del mercado e interpretar el resultado.

Solución: como la función de oferta es creciente el número de bicicletas producidas se obtiene cuando el precio es nulo, es decir, x = 0, reemplazando en la ecuación de oferta se obtiene Y= 300. Esto significa que la producción mínima es de 300 bicicletas para que la empresa comience a ofrecerlas en el mercado.

B) la venta de bicicletas está relacionada con la función demanda; si no se venden es porque Y = 0; haciendo este reemplazo en la ecuación de demanda, se tiene x = 16000/325 = 49,23. Lo cual quiere decir que no se venden bicicletas si su precio es de 49,23 dólares.

C) el punto de equilibrio se presenta cuando la oferta de bicicletas es igual a la demanda de las mismas; para hallar este punto basta resolver las dos

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