Cómo podrías ordenar 16 bolas de billar

¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...

= 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

División) 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

No se puede repetir, el orden importa

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16! =16!=20,922,789,888,000 = 3360

(16-3)! 13! 6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!= 10! = 3,628,800= 90

(10-2)! 8! 40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir: (5,5,5,10,10)

Sin repetición: (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1 1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

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