DEMOSTRACION DEL TABLERO SIMPLEX

DEMOSTRACION DEL TABLERO SIMPLEX

Optimizar:         Z = CX

Sujeto a:

AX = b

X≥0

CB: Coeficientes de las variables básicas

CN: Coeficientes de las variables no básicas

XB: Variables básicas

XN: Variables No básicas

B: Matriz básica

N: Matriz No básica

Entonces si reemplazamos, quedaría de la siguiente forma:

[pic 1]

                                               XB[pic 2]

                                Z =     CB   CN

                                              XN

Sujeto a:

[pic 3]

                                                            XB[pic 4]

                                B   N                      =   b

                                               XN

• Luego:

[pic 5][pic 6]

        Z = CB XB + CN XN        …………        1

Sujeto a:

BXB + NXN = b

A continuación multiplicamos por B-1 tanto en la parte derecha como en la parte izquierda de la restricción:

B-1(BXB + NXN) = B-1b

Resolviendo el siguiente producto:

B-1BXB + B-1NXN = B-1b[pic 7]

XB = B-1b - B-1NXN        ………… 2

Sabemos que:        XN = 0[pic 8][pic 9]

Reemplazamos   2     en   1

Z = CB (B-1b - B-1NXN) + CN XN

Z = CB B-1b – (CBB-1NXN - CN XN)[pic 10]

Z = CB B-1b – (CBB-1N - CN) XN                …….        3

[pic 11]

De   3           :

Z = CB B-1b – (CBB-1N - CN) XN

[pic 12]

1Z + 0 XB  + (CBB-1N - CN) XN =  CB B-1b……  4

[pic 13]

De   2    :

XB = B-1b - B-1NXN

[pic 14]

0 Z + 1XB + (B-1N)XN = B-1b        ……….  5

[pic 15][pic 16]

De    4    y     5   :[pic 17]

                                                Z[pic 18][pic 19]

        1        0        CBB-1N - CN         XB        =        CB B-1b 

        0        1             B-1N                XN                   B-1b

...