DEMOSTRACIÓN DE QUE Mn ES UN ANILLO

Definición. Un anillo es una terna A = (A,+, .) donde A es un conjunto , y “ +” y “ .” son operaciones en A, denominadas adición y multiplicación, respectivamente, tales que:

(A1) la adición es asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c), para todo a, b, c ∈ A ;

(A2) la adición es conmutativa:

a + b = b + a, para todo a, b ∈ A ;

(A3) existe un elemento, denotado 0, en A tal que

a + 0 = a = 0+a, para todo a ∈ A ;

(A4) para cada a ∈ A existe un elemento, denotado −a, en A tal que

a + (−a) = 0 = (−a) + a ;

(A5) la multiplicación es asociativa:

(a.b).c = a.(b.c), para todo a, b, c ∈ A ;

(A6) existe un elemento, denotado 1, en A tal que

a.1 = a = 1.a, para todo a ∈ A ;

(A7) la multiplicación es distributiva, a los dos lados, respecto de la adición:

a.(b + c) = (a.b) + (a.c) y (a + b).c = (a.c) + (b.c), para todo a, b, c ∈ A .

Nota. Por convenio la multiplicación precede a la adición; esto es, la expresión x + y.z, que en principio es ambigua, significa x + (y.z); análogamente, a.b + a.c significa (a.b) + (a.c); etc.

Propiedades elementales. En todo anillo A se cumplen las siguientes propiedades:

PE1. Solo existe un elemento 0 en A que verifique A1; se le denomina el cero del anillo A.

Demostración. Si z ∈ A cumple a + z = a = z + a, para todo a ∈ A, entonces z = z + 0 = 0.

PE2. Para cada a ∈ A sólo existe un elemento −a ∈ A que cumpla A4; se dice que −a es el opuesto de a.

Demostración. Dado a ∈ A, si a_ ∈ A cumple a + a_ = 0 = a_ + a, entonces

a_ = a_ + 0 = a_ + (a + (−a)) = (a_ + a) + (−a) = 0 + (−a) = −a

PE3. Se tienen:

• 0 = 0;

• (−a) = a, para todo a ∈ A;

• (a + b) = −a − b, para todo a, b ∈ A.

Demostración. Son consecuencias de las siguientes identidades:

0 + 0 = 0, a+ (−a) = 0 y a + b + (−a − b) = 0 ,

Respectivamente.

(Nótese que −a − b quiere decir (−a) + (−b)).

PE4. Sólo

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