DERECHO A SABER: Art. 21, Decreto N° 40 LEY 16.744

Lema de Borel-Cantelli y Chebyshev Desigualdad

En esta sección explicaremos el lema de Borel-Cantelli y la desigualdad de Chebyshev, que será necesario en la siguiente sección y en otros lugares. Sea {An} ∞ n = 1 una secuencia de eventos en algún espacio de probabilidad. Considere el evento A dado por A = ∩∞ n = 1 ∪∞ k = n Ak. Es fácil ver que ω ∈ A si y sólo si ω ∈ An para infinitamente muchos n's. Así podemos pensar en el suceso A como el suceso en el que An aparece con frecuencia. Utilizaremos la notación introducida en [5]:

? An i.o.?=? Un infinitamente a menudo? = ∞? N = 1

Kk

Alaska.

26 3 C onstrucciones del teorema de la teoría burocránea 3.2.1. (Borel-Cantellilemma) Sea {An} ∞ n = 1 una sucesión de eventos tales que ∞ n = 1 P (An) <∞. Entonces P {An i.o.} = 0. Este teorema se llama a menudo la primera parte del lema de Borel-Cantelli. La segunda parte afirma que si ∞ n = 1 P (An) = ∞ y los sucesos An son independientes, entonces P {An i.o.} = 1. Sólo necesitaremos la primera parte, que se puede probar bastante fácilmente como sigue:

P {An i.o.} = Lim n → ∞

PAG

∪∞ k = n Ak ≤ lim n → ∞

O K = n

P (Ak) = 0. El complemento de {An i.o.} es el evento {An f.o.} = {An fi nitely often} que An se produce con frecuencia fi nidamente. Así, cada vez que tenemos una situación como P {An i.o.} = 0,

entonces, tomando el complemento, obtenemos P {An f.o.} = 1. ¿Por lo tanto existe un evento? Ω tal que P (? Ω) = 1 y para cada ω ∈? Ω, ω ∈ An sólo para infinidad de n's, es decir, para cada ω ∈? Ω, existe un entero positivo N (ω) tal que ω ∈ Ac n para todo n ≥ N (ω). Aquí Ac n es el complemento de An. Entonces podemos usar este hecho para concluir información útil.

Ejemplo 3.2.2. Sea {Xn} ∞ n = 1 una secuencia de variables aleatorias. Supongamos que podemos encontrar números positivos αn y βn tales que

P (| Xn | ≥αn} ≤ βn, ∀n ≥ 1.

Si? N βn <∞, entonces podemos aplicar el lema de Borel-Cantelli para ver que P {| Xn ≥αn io} = 0 o, de forma equivalente, P {| Xn | ≥αn fo} = 1.

Si αn → 0 asn → ∞, podemos concluir que Xn → 0 casi seguramente. A, podemos concluir que la serie aleatoria n Xn es absolutamente convergente casi seguramente

El lema de Borel-Cantelli se usa a menudo con la desigualdad de Chebyshev Sea X una variable aleatoria con E | X | <∞ Entonces para A> 0, E | X | ≥? | X | ≥a | X | dP ≥ a? | X | ≥a dP = aP (| X | ≥a) Dividir ambos lados por a para obtener una desigualdad muy útil En el siguiente teorema.

Teorema 3.2.3. (Desigualdad de Chebyshev) Sea X una variable aleatoria con E | X | <∞. Entonces para anya> 0, P (| X | ≥ a) ≤ 1 a E | X |, ∀a> 0.

3.3K Teoremas de Extensión y Continuidad de olmogorov2 7 Ejemplo 3.2.4. Sea {Xn} ∞ n = 1 una secuencia de variables aleatorias tales que E | Xn | ≤1 para todo n. Letc> 2 sea un número fijo. Seleccione α = c / 2. Por la desigualdad Chebyshev, tenemos

P {| Xn | ≥nα} ≤

1 na

E | Xn | ≤

1 nα

.

Puesto que nn 1 nα <∞, podemos aplicar el lema de Borel-Cantelli para demostrar que P {| Xn | ≥ nα i.o.} = 0. Por lo tanto P {n-c | Xn | ≥ nα-c i.o.} = 0, o equivalentemente, P {n-c | Xn | ≥ nα-c f.o.} = 1. Obsérvese que c-α = c / 2> 1, de modo que n nα-c <∞. Se deduce que la serie aleatoria? N n-cXn es absolutamente convergente casi seguramente.

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