DERIVADA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD “GRAN MARISCAL DE AYACUCHO”

SEDE BARCELONA

Alumno:

José Díaz C.I.: 8.267.836

Barcelona, Marzo de 2013

Ejemplos:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIÓN. El propósito central de la economía como ciencia es el estudio de la asignación óptima de los recursos escasos. Esta definición de la economía encaja muy bien con el tema matemático de optimización (maximización o minimización) restringida: la búsqueda de un óptimo (máximo o mínimo) sujeto a una restricción. El consumidor trata de maximizar una función de utilidad condicionada por la restricción presupuestal; el empresario capitalista trata de maximizar una función de ganancia con la restricción de la disponibilidad de sus recursos.

El método para resolver este tipo de problemas fue desarrollado por el matemático Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Esta nota presenta la estructura matemática más simple de los problemas de optimización con restricciones y la solución conocida como “método de multiplicadores de Lagrange”.

El método de Lagrange consiste en formular una nueva función, la función

Lagrangeana:

L(x, y,λ)= f (x, y)+λ (c−g(x, y)) (2)

Donde λ es un número real tal que (x*, y*,λ *) es un punto crítico de la función

L(x, y,λ). Nótese en (2) que (c−g(x, y))=0 por la definición en (1).

Para encontrar los puntos críticos procedemos a obtener las derivadas parciales de L respecto a x, y,λ e igualar a cero.

Ahora tenemos un sistema de 3 ecuaciones con igual número de incógnitas (x, y,λ ) las cuales podrán determinarse si el problema planteado tiene una solución. En este caso encontramos los puntos críticos ( x*, y*,λ *).

Una vez obtenido los puntos críticos debemos verificar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla. Para ello debemos realizar las derivadas segundas, valuarlas en el punto crítico y con ellas construir la matriz Hessiana ampliada que llamamos Ha

Definimos los menores principales de H a como:

Suponiendo que Lλ x ≠0 , tendremos que los puntos críticos representan:

Ejemplos:

1. Maximizar z = f (x, y)= x y con la restricción g(x, y)= x+4 y =16

Planteamos la función Lagrangeana:

L(x, y,λ)= x y+λ (16−(x+4 y))

Resolvemos la condición de primer orden para un máximo:

La condición de primer orden en este problema es un sistema lineal que se resuelve fácilmente. De la primera ecuación tenemos que y =λ , insertando este resultado en la segunda ecuación resulta x =4 y . Ahora sustituimos este último resultado en la tercera ecuación de la condición de primer orden de manera que 16=4 y+4 y =8 y y se deduce que y =2=λ . Luego, x =4 y =4(2)=8 . Por lo tanto, la función

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