Derivadas

EJERCICIO N°01

La ecuación 2x4 + 3y4 = 32 representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado por la función

,

hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el borde de la pantalla.

SOLUCIÓN

Sea g(x; y) = 2x4 + 3y4. Tenemos:

Con estos valores tenemos f(x; y)  0,44.

Los otros dos casos son:

EJERCICIO N°2

Hallar el punto del paraboloide z = (x - 2)2 + 0.25 (y - 3)2 + 5 más próximo al plano x + y + z = 0.

SOLUCIÓN

Llamaremos (x; y; z) al punto que está sobre el paraboloide y (s; t; u) al perteneciente al plano. La función a minimizar es la función distancia entre ambos, pero esto es equivalente a minimizar la distancia al cuadrado, dado que la raíz cuadrada es una función creciente. La distancia al cuadrado entre ambos puntos es:

f(x; y; z; s; t; u) = (x - s)2 + (y - t)2 + (z - u)2

Con lo cual tenemos en claro la función y sus seis incógnitas.

Las condiciones de restricción serán la pertenencia al paraboloide y al plano respectivamente. Recordemos que una condición de restricción siempre se escribe como una función igualada a una constante. Podemos escribir, entonces:

g1(x; y; z; s; t; u) = z - (x - 2)2 - 0.25(y - 3)2 = 5

g2(x; y; z; s; t; u) = s + t + u = 0.

Si ahora aplicamos multiplicadores de Lagrange a nuestro caso tendremos:

f = 1g1 + 2g2

Derivando variable por variable tendremos:

EJEMPLO Nº3

• Usar multiplicadores de LaGrange para hacer máximo el valor de

sujeto a

FO:

FR:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

FR:

EJEMPLO Nº04

Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volumen sometido a la restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda 108 pulgadas.

FO:

FR:

Resolver ecuación:

FR:

EJERCICIO Nº 05

Una caja rectangular sin tapa se hace con de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja.

Buscamos maximizar:

con restriccion:

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Entonces:

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo por lo tanto la primera la multiplicamos por la segunda por y la tercera por , quedaría de la siguiente manera:

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:

de la segunda ecuación sabemos que:

entonces: . Si se hace sustituimos en la ecuación:

y nos quedaría de la siguiente manera:

Por lo tanto

...