Distribució de Gauss: un cas comentat

DISTRIBUCIONS NORMALS- Discusió de casos                                 clppvp@gmail.com

CAS 1: Anàlisi de la contaminació radioactiva en llacs d’alta muntanya

[pic 1]

a)

En context

Els llacs d’alta muntanya es troben molt allunyats de les fonts antròpiques de contaminació industrial, si hi trobem traces de radioactivitat aquesta ha arribat a través de l’aigua de la pluja. Per tant ens dóna una evidència del grau i velocitat de dispersió a l’atmosfera d’aquest tipus de contaminació, que hauria viatjat impulsada pels vents des de punts molt llunyans on es va originar.

Per classificar un llac com a contaminat o no, cal fer moltes mesures de les seves aigües, i assegurar-nos si el valor mig de totes elles està per damunt d’un determinat llindar.

Amb aquesta metodologia, hom va classificar els llacs en dues categories: contaminats radiològicament i no contaminats.

L’experiment

Quan prenem una mostra d’aigua i l’analitzem ens dòna un valor, que és una variable aleatòria: pot ser que el llac estigui efectivament contaminat, però el valor d’aquella mostra sigui baix, o a l’inrevés.

Quina probabilitat existeix, disposant d’una sola mostra, que el llac en el seu conjunt estigui efectivament contaminat?

La distribució normal

Acceptem que si hem fet una tanda extensa de mostres d’aigua, la distribució dels resultats de les anàlisis segueix una distribució normal de Gauss; és a dir:

[pic 2]

En el cas dels llacs contaminats, sabem que: N(9,2’5)
[pic 3]

Veiem que la mesura 2 es correspon amb un 2’1% de les mesures fetes en llacs efectivament contaminats.

Conclusió

Si al fer una única mesura de l’aigua d’un llac el valor obtingut és 2, existeix una probabilitat de 0’021 que efectivament el llac estigui contaminat.

b)

Es planteja un problema de probabilitat condicionada.

La probabilitat P que ens demanen pot enunciar-se així pel cas d’un sol llac:

P= P(llac no sigui contaminat)·P(x>2) + P(llac sigui contaminat)·P(x>2)

Es pot fer la suma de probabilitats perquè els dos succesos (ser o no llac contaminat) són disjunts (no pot haver un mateix llac en les dues categories alhora).

Calculem separadament cadascuna d’aquestes probabilitats:

P(llac no sigui contaminat)= 3/4   (segons ens diuen a l’enunciat)

Si no està contaminat:

P(x>2) estandaritzem la variable: z= (2-1’6)/0’3= 1’33

P(z>1’33)= 1-P(z<1’33)= 1-0’9065= 0’0935 (segons la taula)

D’altra banda:

P(llac sigui contaminat)= ¼

Si està contaminat:

P(x>2) estandaritzem la variable: z=(2-9)/2’5= -2’8

P(z>-2’8)=P(z<2’8)= 0’9974

Per tant la probabilitat de que un llac, escollit a l’atzar sense saber a quina categoria pertany, doni en l’anàlisi un valor superior a 2 és:

P= ¾ · 0’0935 + ¼ · 0’9974= 0’319

...