EL MOVIMIENTO CLÁSICO DE UNA PARTÍCULA EN TORNO A DOS CENTROS COULOMBIANOS CON CARGAS ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS

NIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE CIENCIAS

EL MOVIMIENTO CLÁSICO DE UNA PARTÍCULA

EN TORNO A DOS CENTROS COULOMBIANOS

CON CARGAS ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS

TESIS PROFESIONAL

RODOLFO REYES SANCHEZ

MÉXICO, D. F. 1971F A C U L T A D D E C I EN C I A S

U. N. A. M

EL MOVIMIENTO CLASICO DE UNA PART ¶ ¶

ICULA EN TORNO A DOS

CENTROS COULOMBIANOS CON CARGAS ELECTRICAS Y MAGN ¶ ETICAS ¶

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL T¶

ITULO DE:

F ¶

I S I C O

p r e s e n t a

RODOLFO REYES SANCHEZ

M¶exico, D. F. 1971A MI MADREA G R A D E C I M I E N T O

Deseo expresar mi agradecimiento al Profesor Harold V. McIntosh por su valiosa ayuda

en la elaboraci¶on de este trabajo ya que sin sus innumerables sugerencias no hubiera sido

posible. A la Comisi¶on Nacional de Energ¶³a Nuclear y en particular al Profesor Juan

Jos¶e Ort¶³z Am¶ezcua por las facilidades que me ha proporcionado al hacer uso del sistema

PDP-10. Asimismo, agradezco al Dr. Enrique Melrose el haberme permitido hacer uso

del equipo del Centro Nacional de C¶alculo en el Instituto Polit¶ecnico Nacional donde fue

iniciada esta tesis. A la Sra. Ma. Eugenia S. de Romero expreso mi gratitud por su

trabajo mecanogr¶a¯co y al compa~nero Alejandro Salgado por haber realizado los dibujos.

As¶³ como a las diferentes personas que de diversas maneras me brindaron alguna ayuda o

sugerencia.Contenido

1 Introducci¶on 1

1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ecuaciones de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Interacci¶on con el campo electromagn¶etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Potencial electrost¶atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Puntos de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Otro m¶etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Potencial repulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Generalidades sobre el monopolo magn¶etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Soluci¶on num¶erica de las ecuaciones de movimento, varios m¶etodos Runge-

Kutta 27

3 Descripci¶on del programa 37

3.1 Subrutinas que usa el programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Subrutina AUGV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2 Subrutina CPYV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Subrutina ZERV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.4 Subrutina INDI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.5 Subrutina INDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.6 Subrutina GRAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.7 Subrutina PAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.8 Subrutina PLOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.9 Subrutina GRAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.10 Subrutina RUKU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.11 Subrutina TURN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.12 Subrutina CNTU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.13 Subrutina PRYPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.14 Discusi¶on del programa general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Algunos ejemplos de con¯guraciones que pueden estudiarse con el m¶etodo

que estamos usando 59

4.1 Dos cargas magn¶eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Energ¶³as negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Estudio del movimiento considerando ¶unicamente cargas el¶ectricas. . . . . . 66

5 Conclusiones. 71

A Discusi¶on del programa PRYPO 73

A.1 Subrutina POLN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.2 Subrutina CALCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.3 Subrutina REGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.4 Programa principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B Consideraciones para ver los efectos de omitir el potencial repulsivo 83

C Interpretaci¶on de algunos resultados obtenidos con la computadora 87

C.1 Discusi¶on de los diferentes tipos de gra¯cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

a) Gr¶a¯cas de las coordenadas como funciones del tiempo . . . . . . . . . . 87

b) Representaci¶on espacial del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

c) Puntos de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

d) Gr¶a¯cas para la regi¶on permitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

e) Gr¶a¯cas de las funciones: f1(»), f2(»), s1(´) y s2(´) . . . . . . . . . . . . 89

f ) Curvas de energ¶³a potencial constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C.2 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Bibliograf¶³a 116

Se gener¶o este documento a partir de una tesis original, por lo que puede contener errores

de transcripci¶on. Se corrigieron algunos errores tipogr¶a¯cos evidentes.Cap¶³tulo 1

Introducci¶on

Poincar¶e demostr¶o que el movimiento de una part¶³cula cargada en el campo de un monopolo

magn¶etico est¶a siempre con¯nado a la super¯cie de un cono cuyo ¶angulo medio depende

de la intensidad de la carga magn¶etica y cuyo eje coincide con la direcci¶on del momento

que se conserva en el sistema.

Consecuentemente, las caracter¶³sticas del movimiento en el campo de un monopolo

son diferentes a las de un campo de fuerzas ordinario para el cual la ¶orbita siempre est¶a

contenida en un plano ortogonal al momento angular.

Una combinaci¶on de cargas el¶ectricas y magn¶eticas que obedece a la ley de Coulomb

no da lugar a un campo de fuerzas especialmente sim¶etrico, en el sentido de que las ¶orbitas

acotadas no son cerradas y no hay un vector constante de movimiento tal como el vector

de Runge, siendo s¶olo aparente la simetr¶³a de las fuerzas centrales.

Sin embargo, por la adici¶on de un potencial centr¶³fugo repulsivo proporcional al cuadrado

de la carga magn¶etica, el sistema se vuelve altamente sim¶etrico, comparable al que se en-

cuentra en el problema de Kepler o en el oscilador arm¶onico. Se encuentra que las ¶orbitas

acotadas son planas. En cualquier caso, las ¶orbitas son secciones c¶onicas como en el pro-

blema de Kepler, con la diferencia de que el centro ¯jo donde est¶a la carga no ocupa los

focos de la ¶orbita ni est¶a contenido en el plano de la misma.

Despu¶es del problema de un centro, quiz¶as la posibilidad m¶as simple es la de considerar

el movimiento de una part¶³cula en el campo de dos centros ¯jos. Tal con¯guraci¶on es el

punto de partida para el estudio de mol¶eculas diat¶omicas u otros sistemas binarios. Las

ecuaciones de movimiento no son particularmente simples, a no ser que se incluya el poten-

cial centr¶³fugo repulsivo. Procediendo as¶³, la ecuaci¶on de Hamilton-Jacobi para el sistema

resulta separable y en efecto, las ecuaciones separadas se asemejan mucho a las que ocu-

rren sin carga magn¶etica. Aunque las ecuaciones de movimiento resultan matem¶aticamente

simples, es dudoso que el t¶ermino correspondiente al potencial centr¶³fugo sea debido a un

campo central de fuerzas, a¶un suponiendo la existencia de cargas magn¶eticas aisladas.

A pesar de ¶eso, el procedimiento empleado permite el estudio de las propiedades de un

sistema altamente sim¶etrico, y subsecuentemente puede examinarse el efecto que resulta

en el movimiento por el hecho de remover el t¶ermino centr¶³fugo no natural introducido en

el problema, en tanto que su importancia s¶olo depende de la masa de la part¶³cula.

11.1 Planteamiento del problema

En general, el prop¶osito de nuestro trabajo consiste en determinar el movimiento de una

part¶³cula en el campo de dos centros coulombianos en los t¶erminos que hemos propuesto

en p¶aginas anteriores. Los casos correspondientes a monopolos magn¶eticos, problema de

Kepler, dipolos, etc., son diferentes posibilidades del problema. Entonces, las ecuaciones de

movimiento se plantean para dos centros y en cada caso se har¶an las consideraciones nece-

sarias. La naturaleza del problema nos sugiere utilizar coordenadas elipsoidales y el m¶etodo

m¶as adecuado para realizar nuestro estudio es el uso de una formulaci¶on hamiltoniana.

La de¯nici¶on de coordenadas elipsoidales es la siguiente: Se tienen dos focos separados

por una distancia de 2d, en ellos vamos a colocar los centros de fuerza mencionados. Las

distancias de dichos centros a un punto P (donde colocamos la carga de prueba) est¶an

representadas por r1

...