ESFUERZOS COMBINADOS Y DEFORMACIONES

4.- ESFUERZOS COMBINADOS Y DEFORMACIONES.

4.1. CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO (ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN).

El círculo de Mohr es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados de un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.

Utilidad del círculo de Mohr.

• Calcular los esfuerzos principales.
• Los esfuerzos cortantes máximos.
• Y los esfuerzos en planos inclinados.
• Permite conocer los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.

Ecuaciones del círculo de Mohr.

  Ecuación. 1[pic 1]

            Ecuación. 2[pic 2]

Reordenando la ecuación 1 nos queda:

[pic 3]

[pic 4]

Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son ecuaciones de un circulo en forma paramétrica. El ángulo  es el parámetro y los esfuerzos son las coordenadas.[pic 5][pic 6]

Para suprimir el parámetro , elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación y luego sumamos ambas. El resultando es:[pic 7]

       Ecuación 3.[pic 8]

Recordando que:

[pic 9]

                                                                                             Ecuación 4.

                                                                       Ecuación 5.[pic 10]

Sustituyendo las ecuaciones 4 y 5 en 3, nos queda:

                                                       Ecuación 6.[pic 11][pic 12]

Es la ecuación de un círculo en forma algebraica estándar. Las coordenadas son  el radio es R y el centro del círculo tiene las coordenadas y .[pic 13][pic 14][pic 15]

Convenciones de signos:

• Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.
• Los esfuerzos normales positivos (compresión) actúan hacia la izquierda.
• Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzos en sentido horario (SH) se trazan hacia arriba en el eje T.
• Los esfuerzos cortantes que tienden a girar al elemento sometido a esfuerzos en sentido antihorario (SAH) se trazan hacia abajo.

Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr:

1. La combinación de  se marca como punto 1 en el plano .[pic 16][pic 17]

1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como un elemento sometido a esfuerzos inicial como se muestra en la figura.[pic 18]

Fig. 1. Proceso para Dibujar el Círculo de Mohr.

1. La combinación de  se marca como punto 2. Observe que  siempre actúa en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marcara arriba del eje  y el otro por debajo.[pic 19][pic 20][pic 21]
2. Trace una línea recta entre los puntos.
3. Esta linea cruza el eje   en el centro del circulo de Mohr, el cual tambien es el valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. La localizacion del centro se puede observar con los datos observados para trazar los puntos o se pueden calcular con la ecuacion 5.[pic 22]

[pic 23]

1. Identifique la línea que pasa por 0 y pasa por el punto 1 () como eje X. esta línea corresponde al eje X original y es esencial que se correlacionen los datos del circulo de Mohr con las direcciones originales X y Y.[pic 24]
2. Los puntos 0,  y el punto 1 forman un importante triangulo rectangulo porque las distancias de 0 al punto 1, la hipotenusa del triangulo, es igual al radio delcirculo, R la longitud de radio del circulo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante máximo. [pic 25]

[pic 26]

Fig.2. Triángulo Rectángulo en el Círculo de Mohr.

1. Dibuje el círculo completo con el centro en O y radio R.
2. Trace el diámetro vertical del círculo. El punto en la parte superior del círculo tiene las coordenadas , donde el esfuerzo tiene la dirección antihoraria (SAH).[pic 27]
3. Identifique los puntos en el eje  en los extremos del diámetro horizontal como a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y  a la izquierda (el esfuerzo principal mínimo). Obsérvese que el esfuerzo cortante en esos puntos es cero.[pic 28][pic 29][pic 30]
4. Calcule los valores  y  con:[pic 31][pic 32]

       [pic 33][pic 34]

[pic 35]

Fig.3. Círculo de Mohr.

1. La orientacion del elemento sometido a esfuerzos princpal se determina calculando el angulo del eje , designando como .[pic 36][pic 37]

[pic 38]

1. Dibuje el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientacion adecuada determinada con el paso 12 con los dos esfuerzos principales y [pic 41][pic 39][pic 40]

Fig. 4. Elemento sometido a esfuerzos principales.

1. La orientacion del elemento sometido a esfuerzos cortantes maximos se determinan con el angulo X al eje  , designando  principal se determina calculando el angulo del eje Xal eje , desinado como  .[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
2. Dibuje el elemento sometido a esfuerzos cortantes maximos y esfuerzos promedios. Como se muestra a continuacion.

[pic 46]

Fig.5. Elemento Sometido a Esfuerzos Combinados Máximos.

4.2. ANÁLISIS DE ESFUERZO BAJO CARGAS COMBINADAS.

Es posible analizar un miembro estructural sometido a cargas combinadas superponiendo los esfuerzos y deformaciones causados por cada carga que actúa por separado. Ahora bien, la superposición de los esfuerzos y las deformaciones es permisible solo en ciertas condiciones. Un requisito es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones lineales de las cargas aplicadas. Esto requiere a su vez que el material obedezca la ley de Hooke y que los desplazamientos sean pequeños.

Otro requisito es que no debe existir interacción entre las diversas cargas; es decir, los esfuerzos y deformaciones causados por una de las cargas no deben verse afectados por la presencia de otras cargas. La mayor parte de las estructuras comunes satisfacen estas dos condiciones, por lo que el uso de la superposición es muy común en el trabajo ingenieril. Existen muchas maneras de analizar una estructura sometida a más de un tipo de carga, por lo general el procedimiento incluye los siguientes pasos:

1.- Se elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones (por lo general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes; por ejemplo, en una sección transversal, donde el momento flexionante tiene su valor máximo).

2.- Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de esfuerzo en la sección transversal que contenga el punto seleccionado (las posibles resultantes de los esfuerzos son una fuerza axial, un momento de torsión, un momento flexionante y una fuerza cortante).

3.- Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debido a cada una de las resultantes de esfuerzos. Además si la estructura es un recipiente a presión, determinar los esfuerzos debidos a la presión interna.

[pic 47]

Fig. 6.  Estructura Sometida a Fuerzas Combinadas.

El procedimiento descrito para analizar los esfuerzos en los puntos A y B, puede usarse en otros puntos. Los puntos donde los esfuerzos calculados con la fórmula de flexión y las fórmulas de los cortantes tienen valores máximos y mínimos, llamados puntos críticos, los esfuerzos normales debidos a la flexión son máximos en la sección transversal de momento flexionante máximo que se presenta en el soporte, por tanto, los puntos en las partes superior e inferior de la viga en el extremo empotrado son los puntos críticos para el cálculo de los esfuerzos.

4. Los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos críticos pueden compararse entre sí para determinar los esfuerzos normales y cortantes máximos absolutos en la barra.

5. Selección de los puntos críticos.

Si el objetivo del análisis es determinar los esfuerzos máximos en cualquier parte de la estructura, entonces hay que escoger los puntos críticos en secciones transversales donde las resultantes de esfuerzos alcancen los valores máximos. Ya en dichas secciones se elegirán los puntos en que los esfuerzos normales o los esfuerzos cortantes tengan sus valores máximos.

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