ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMO

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMO

Las ecuaciones σ_(x`)=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡2 θ+τ_xy sen 2θ y τ_(x`y` )=-(σ_x-σ_y)/2 sen 2θ+τ_xy cos 2θ obtenidas en la sección precedente son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Esto significa que si se escoge un sistema de ejes rectangulares y graficamos un punto M de abscisa σ_(x´) y ordenada τ_(xý´) para cualquier valor de θ, los puntos así obtenidos estarán situados en un circulo. Para comprobarlo, se elimina θ de las demás de las ecuaciones anteriores. Esto se hace transponiendo primero (σ_x+σ_y)/2 en la ecuación σ_(x`)=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡2 θ+τ_xy sen 2θ y elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación τ_(x`y` )=-(σ_x-σ_y)/2 sen 2θ+τ_xy cos 2θ y, final mente, sumamos miembro a miembro las ecuaciones resultantes

(σ_(x´)-(σ_x+σ_y)/2)2 〖+ τ〗_(x´y´)^2=((σ_x- σ_y)/2)2〖+ τ〗_xy^2 (ecu.1)

Haciendo

σ_(med=) (σ_x+σ_y)/2 y R=√(〖((σ_x- σ_y)/2)〗^2+τ_xy^2 ) (ecu.2)

Se escribe la identidad de la ecu.1 en la forma

〖〖(σ〗_(x´-) σ_med)〗^2+τ_xy^2=R^2 ( Identidad 1)

Que es la ecuación de un círculo de radio R con centro en el punto C de abscisa σ_med y ordenada 0 vea la figura 1.1. Puede observar que, debido a la simetría del circulo con respecto al eje horizontal, se habría obtenido el mismo resultado si, en lugar de graficar M, se hubiera graficado un punto N de abscisa σ_(x´) y ordenada 〖-τ〗_(x´y´) vea la figura 1.2

Figura 1.1 fig.1.2

Los puntos A y B, donde el círculo de la figura 1.1 interseca el eje horizontal, son de especial interés: el punto A corresponde al máximo valor del esfuerzo normal σ_(x´), mientras el punto B corresponde a su mínimo valor. Además, ambos puntos tienen un valor nulo del esfuerzo cortante τ_(x´y´). Así, los valores θ_p del parámetro θ que corresponden a los puntos A y B pueden obtenerse haciendo τ_(x´y´)=0 en la ecuación τ_(x`y` )=-(σ_x-σ_y)/2 sen 2θ+τ_xy cos 2θ se escribe

〖tan 2θ〗_p=〖2τ〗_xy/(σ_x- σ_y ) (ecu.3)

Esta ecuación define dos valores 〖2θ〗_p que difieren en 180° y, por tanto, dos valores θ_p que difieren en 90°. Cualquiera de estos valores puede usarse para determinar la orientación del elemento correspondiente vea la figura 1.1 los planos que contiene las carras del elemento del elemento obtenido se llaman planos principales de esfuerzo en el punto Q, y los valores correspondientes σ_max y σ_min del esfuerzo normal ejercido sobre estos planos son los esfuerzos principales en Q. como los dos valores θ_p, definidos por la ecuación 3, se obtuvieron haciendo τ_(x´y´)=0 en la ecuación τ_(x`y` )=-(σ_x-σ_y)/2 sen 2θ+τ_xy cos 2θ, es claro que no hay esfuerzo cortante en los planos principales. Observe la figura 2, que

σ_max=σ_med+ R y σ_min=σ_med=R

Sustituyendo por σ_med y R de la ecuación 2

σ_(max,min=) (σ_x+σ_y)/2 ±√(〖((σ_x- σ_y)/2)〗^2+τ_xy^2 )

Fig.2

A menos que sea posible de decir por inspección cual de los dos planos está sometido a σ_max y cual a σ_min, es necesario sustituir uno de los valores de θ_p, en la ecuación σ_(x`)=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡2 θ+τ_xy sen 2θ, para determinar a cuál de las dos corresponde al valor máximo del esfuerzo normal.

Refiriéndose de nuevo al círculo de la figura 1.1, se observa que los puntos D y E, localizados en el diámetro vertical del circulo, corresponden al mayor valor numérico del esfuerzo τ_(x´y´). Puesto que la abscisa de los puntos D y E es σ_med=(σ_x+σ_y)/2 en la ecuación σ_(x`)=(σ_x+σ_y)/2+(σ_x-σ_y)/2 cos⁡2 θ+τ_xy sen 2θ de ahí se sigue que la suma de los últimos dos términos en esa ecuación deben ser cero.

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