ESTADISTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
AYMJU28 de Octubre de 2012
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MEDIDADAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.1 Estadística Sumaria
Son medidas precisas respecto a una tabla de distribución de frecuencias; en estos casos se utilizan magnitudes numéricas, que constituyen la estadística sumaria para describir las características del conjunto de datos.
Son de particular interés las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.
Tendencia Central
La tendencia central de una distribución de frecuencias es el punto medio de todos los datos o puntuaciones. También es conocido como medidas de posición.
La posición central de la curva B está a la derecha de las posiciones centrales de las curvas A y C tienen la misma posición central.
Dispersión
Es la separación de los datos respecto a la puntuación central. Como ejemplo se puede observar que la curva C tiene mayor dispersión respecto a la curva A.
Curva Normal
Una curva es normal cuando sus puntuaciones se distribuyen en forma simétrica respecto a la puntuación central. Entiéndase por simetría a distancias iguales entre dos puntos respecto a una central.
Esta curva también es conocida como la curva de Gauss.
Sesgo
Cuando las puntuaciones u observaciones de la distribución de frecuencias son asimétricas, presentan una mayor desviación a uno de los lados respecto al otro extremo. Presentan asimetría positiva (mayor desviación de datos hacia la derecha respecto a la perpendicular trazado desde la puntuación central) o asimetría negativa (desviación hacia la izquierda).
(+) (-)
Distribución de frecuencia asimétrica distribución de frecuencia asimetría
Positiva. Negativa.
Curtosis
Es la agudeza que presenta la curva respecto a la puntuación central.
GRÁFICO 3-4
Las curvas A y B del gráfico 3-4 son curvas sesgadas porque los valores de su distribución de frecuencias se concentran en sus extremos en la escala de medición del eje horizontal. Los sesgos de las curvas son exactamente opuestos.
GRÁFICO 3-5
Dos curvas con la misma posición central pero diferente Curtosis.
Las curvas A y B tienen la misma posición y la misma dispersión y ambas son simétricas, pero
tienen diferente grado de curtosis.
3.2 La Media Aritmética en distribuciones de frecuencias
La media aritmética es el valor promedio de las observaciones realizadas en una distribución de frecuencias.
El valor numérico de la media aritmética es la suma de las puntuaciones entre el número total de las observaciones. Ejemplo, los siguientes datos son horas no trabajadas de un generador eléctrico durante un año.
Media aritmética = = 8.8 días
El generador eléctrico estuvo fuera de servicio en el periodo de un año, un promediode8.8días.Con este dato el administrador de la planta de energía tiene una media sencilla y razonable del comportamiento de todos sus generadores.
La media aritmética de una muestra se representa por: .
La media aritmética de una población se representa por: µ
El número de elementos de una población se representa por: N.
El número de elementos de una muestra se representa por: n.
Las medidas calculadas para una muestra se conocen como estadísticos.
Por lo tanto, la media : µ = 8.8 días, si la población de generadores es de 10 unidades.
La media = 8.8 días, si los 10 equipos son tomados de un grupo mayor a los 10 equipos.
Media Aritmética de la Población: µ =
Media Aritmética de la Muestra: =
El ejemplo presentado es una media con datos no agrupados.
Cuando la distribución de frecuencias están agrupados en clases; cada observación cae solamente en una clase que lo contiene, por lo tanto, se ignora el valor individual de cada observación.
La media aritmética con datos agrupados es una estimación realizada a partir de las frecuencias contenidas en cada una de las clases; no es un valor real de la media. Con este procedimiento se encuentra un método sencillo para su procesamiento sacrificando la precisión.
Ejemplo. Los datos de la tabla corresponden al saldo promedio mensual de la cuenta de cheques de 600 clientes de una sucursal bancaria. Hallar la media aritmética con datos agrupados
Tabla Nº 12
Clase: Xi Punto medio: Xm Frecuencia fi fi.Xi
0 – 49.99
50 – 99.99
100 – 149.99
150 –199.99
200 – 249.99
250 – 299.99
300 – 349.99
350 – 399.99
400 – 449.99
450 - 499.99 25
75
125
175
225
275
325
375
425
475 78
123
187
82
51
47
13
9
6
4 1 950
9 225
23 375
14 350
11 475
12 925
4 225
3 375
2 550
1 900
600 85350
= = 142.25 dólares. Es el saldo promedio mensual de los clientes de una sucursal bancaria en el periodo de un mes.
Es importante el conocimiento de procesos simplificados para la obtención de la media aritmética, para salvar alguna emergencia a falta de computadoras portátiles. Se efectúa por códigos. Este método permite eliminar los puntos medios muy grandes por números enteros pequeños.
Tabla Nº 13
Xi Frecuencia fi Punto medio: Xm µ
fi. µ
0 – 49.99
50 – 99.99
100 – 149.99
150 –199.99
200 – 249.99
250 – 299.99
300 – 349.99
350 – 399.99
400 – 449.99
450 - 499.99 78
123
187
82
51
47
13
9
6
4 25
75
125
175
225 X0
275
325
375
425
475 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 -312
-369
-374
-82
0
47
26
27
24
20
600 -993
X0 = punto medio con código 0
i = ancho del intervalo de clase
µ =código de cada punto medio de clase
n = número total de las observaciones de muestra.
Fórmula para este método: = X0 + i
= 225 + 50.(
Ventajas del uso de la media aritmética
Es un concepto familiar para la mayoría de las personas y es intuitivamente claro.
Tiene la capacidad de representar a todo el conjunto de datos.
Es útil para efectuar procedimientos estadísticos, como la comparación de grupos a través de sus medias.
Desventajas del uso de la media aritmética
Puede existir valores extremos que no son representativos del resto de datos y puede afecta a la media que podría dejar de ser representativa
Ejemplo: Si 7 miembros de un equipo de atletismo tiene las siguientes marcas de tiempos en minutos para cierta carrera. Hallar la media de los tiempos utilizados por los atletas.4.2, 4.3, 4.7, 4.8, 5.0, 5.1, 9.0
Solución
µ = 4.2+4.3+4.7+4.8+5.0+5.1+9.0/7 = 5.3 Minutos. Es la media de la población de atletas.
La marca del séptimo atleta es un tiempo extremo porque da una falsa información del desempeño grupal. Si se descarta el grupo tendría una mejor marca de tiempo, con un aproximado de µ = 4.7 minutos.
Resulta tedioso calcular la media debido a que utilizamos cada una de los datos y, si se calcula la media con datos agrupados, esta es una media aproximada.
No es posible hallar la media con precisión en clases con extremo abierto.
Ejemplo: Si el extremo superior fuese “5.4 o más”. No se tiene la certeza de que es 5.4, cercano a 5.4 o mucho mayor a 5.4.
3.3 La Media Ponderada
Es otra medida de tendencia central que permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.
Ejemplo: Una compañía utiliza tres niveles de trabajo: no calificado, semicalificado y calificado, para la producción de dos de sus productos finales. La compañía desea saber el promedio del costo de trabajo por hora para cada uno de los tipos de productos.
Tabla Nº 14
Nivel de mano de obra.
Salario en dólares.
(X) Horas de mano de obra
Por unidad producida
Producto A Producto B
No calificado
Semicalificado
Calificado $5.00
7.00
9.00 1
2
5 4
3
3
PRIMER MÉTODO
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