Ejercicio De Fisica

Ejercicio 20:

Un fabricante hace cajas abiertas a partir de piezas de cartón rectangulares, dimensiones 40 cm por 50 cm, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de la longitud del lado de los cuadrados que se cortarán. (b) ¿Cuál es el dominio de la función del inciso (a)? (c) Determine la longitud de los cuadrados que se cortarán y el volumen aproximado con dos cifras decimales.

Solución:

Pregunta a:

Lo primero que se debe hacer, es realizar un esquema gráfico que permita interpretar de mejor manera el enunciado del ejercicio; como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Bosquejo del enunciado.

Se conoce que el volumen de un paralelepípedo es: V=A∙h ; por lo tanto el volumen de la caja es:

V=(50-2x)∙(40-2x)∙x [〖cm〗^3 ]. Ec. 1

Al resolver la ecuación 1 se tiene el modelo matemático que expresa el volumen de la caja en función de los cuadrados a recortar.

V=4x^3-180x^2+2000x [〖cm〗^3 ] Ec. 2

Pregunta b:

El dominio de la Ec. 2 son los R. Ahora bien, considere que no existen volúmenes negativos, por lo que el dominio de la Ec. 2 se restringe al intervalo:[0;20 ]; basado en la gráfica de la figura 2.

Figura 2. Gráfica de la función volumen.

Pregunta c:

Basado en la gráfica de la figura 2, la tabla de valores (Tabla 1) correspondiente muestra que el valor máximo del volumen de la caja esta entre los puntos (7;6552) y (8;6528).

Tabla 1. Valores correspondientes a la gráfica de la figura 2.

Por tal razón se procede a realizar una nueva tabla de valores en ese intervalo, haciendo una variación de 0,15.

Tabla 2. Aproximación del valor de x para el máximo volumen.

Tabla de puntos

7,0 6552

7,15 6560,05

7,30 6563,87

7,45 6563,52

7.60 6559,10

7,75 6550,69

7,90 6538,36

8,0 6528

De acuerdo a la tabla 2, se determina que un valor aproximado de x, que representa la longitud de los cuadrados a recortar, es: ~7,30 cm.

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