Ejercicios de cálculo matemático

8.1

Sea

[pic 1]

[pic 2]

Donde

[pic 3]

[pic 4]

Y  es iid con media 0 y varianza . Halle el intervalo de confianza del 95% para  en términos de , la correlación entre  y [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Solución:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Para un 95% de confianza , el ancho del intervalo está dado por:[pic 22]

[pic 23]

Donde  es la desviación estándar[pic 24]

8.2 En el modelo de regresión lineal normal [pic 25][pic 26]

[pic 27]

Obtenga un test estadístico para  , donde  y  es constante[pic 28][pic 29][pic 30]

Solución:

Dado

[pic 31]

[pic 32]

Donde  es el j-ésimo elemento de la diagonal de , de aquí que:[pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Como sabemos

[pic 40]

Si  y   entonces[pic 41][pic 42]

[pic 43]

Y de manera similar:

[pic 44]

8.3

Solución

[pic 45]

Como , se tiene entonces[pic 46]

[pic 47]

El cual seria el error cuadrático medio con base en .[pic 48]

Se sabe que el ECM(MSE) por mínimos cuadrados es: (4.2.7 de Ravishanker & Dey (2002) pag. 98)

[pic 49]

Como , se concluye entonces que el estimador de  con base en  tiene menor ECM que el estimador de mínimos cuadrados.[pic 50][pic 51][pic 52]

8.13

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

Entonces

[pic 73]

[pic 74]

De ahí la Distancia de Cook

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

8.14 Demuestre que:

[pic 79]

Por definición tenemos que la Covratio está dada por (Besley et al., 1982, citado en Ravichanjer, Dipark, 2001):

[pic 80]

Por propiedades de valor absoluto se tiene:

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

Teniendo en cuneta que (Besley er al.1980):

[pic 84]

En consecuencia, por propiedad de valor absoluto:

[pic 85]

[pic 86]

Reemplazando en la Covratio se tiene que:

[pic 87]

[pic 88]

Según Ravishanker y Dipak (2001), se tiene que:

[pic 89]

Reemplazando en a Covratio se tiene que:

[pic 90]

[pic 91]

1. Demuestre que cuando , y , entonces la  aproximadamente.[pic 92][pic 93][pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

Teniendo en cuenta que  , evaluando el limite en  , se tiene que[pic 100][pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

Luego,

[pic 104]

[pic 105]

Según Besley et al. (1982) se tiene que:

[pic 106]

Donde , es reemplazando por  por facilidad, en consecuencia se tiene que:[pic 107][pic 108]

...