Calculo Ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

CALCULO INTEGRAL

Si su grupo colaborativo termina en los dígitos 9 o 0 realice los siguientes ejercicios:

21. para cada una de las siguientes lecciones.

Lección N°20 Integración por cambio de variable.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

∫▒〖f´(u).u´dx=F(u)+C〗

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable.

∫▒〖f´(u).u´dx〗

1. ° Se hace el cambio de variable y de diferencia en los términos:

t=u

dt=u´dx

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral;

∫▒〖f´(t).u´dt/u=∫▒〖f´(t)dt〗〗

2° Si la integral resultante es más sencilla integramos:

∫▒〖f´(t).dt=f(t)+C〗

3° Se vuelve a la variable inicial.

f(t)+C=f(u)+C

Tenemos el siguiente ejercicio:

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗

Entonces

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗=∫▒〖sent〗^4/√(〖〖(1-sen〗^2 t)〗^3 ) cost dt = ∫▒〖〖(-1cos〗^2 t)〗^2/(〖cos〗^2 t) dt=

=∫▒〖(〖1-2cos〗^2 t+〖cos〗^4 t)/(〖cos〗^2 t) dt=∫▒〖dt/(〖cos〗^2 t)-2∫▒〖dt+ ∫▒〖〖cos〗^2 td= 〗〗〗〗

=∫▒〖dt/(〖cos〗^2 t)-2∫▒〖dt+∫▒(1+cos2t)/2 dt=〗〗

tgt-2t+1/2 t+1/4 sen2t+C =tgt+1/4 sen2t-3/4 t+C

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗=tg(arc senx)+x.√(〖1-x〗^2 )- 3/4 arc sen x+C

Lección N°21 Integración por Racionalización

Tenemos el siguiente ejercicio:

∫▒〖(〖cos〗^3 x)/(〖sen〗^2 x) dx= ∫▒(〖(1-sen〗^2 x)cosxdx)/(〖sen〗^2 x)= [(t=senx)¦(dt=cosxdx)]=∫▒〖〖1-t〗^2/t^2 dt〗〗

=(-1)/t-t=(-1)/sent-sent

Lección N°27 Integración de función exponencial.

∫▒〖e^(x ).dx=e^x 〗+c

En este caso la desarrollaremos de dos formas; simple y compuesta

Forma Simple

f (x)= a^x

∫▒〖a^x .dx= a^x/(ln a)〗

f (x)=5e^x

Al integrar obtendremos

f 5e^x dx=5.e^x+c

Forma Compuesta

∫▒〖e^f.f^´ dx= e^f 〗

∫▒〖a^f.f^´ dx= a^f/ln⁡a 〗

f(x)=e^(2x+1) 2.d

Multiplicamos por la derivada del exponente

1/2 ∫▒〖e^(2x+1).dx〗

Integramos y obtenemos

1/2.e^(2x+1)+c

REALIZAR EL PROCEDIMIENTO DE RESPUESTA ELEGIDA

22. La solución de la siguiente integral definida ∫_(π/4)^(5π/4)▒〖cos〗^4 (x).sen⁡〖(x)dx es:〗

∫_(π/4)^(5π/4)▒〖(cos(x))^4 sin(x)dx〗

Lo primero es hacer una sustitución, u = cos(x) y du= -sen (x) dx

-∫_(π/4)^(5π/4)▒〖u^4*du〗

Integrando quedaría asi:

=u^5/5+Constante

Desarrollando la respuesta es:

=-1/5 〖cos〗^5 (x)+Constante

Ahora evaluamos la integra de la forma

∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-f(a) 〗

=-1/5 〖cos〗^5 (5π/4)-(-1/5 〖cos〗^5 (π/4))

=-1/5*-2^(5/2)/32-(-1/5*2^(5/2)/32)

=2^(5/2)/160+2^(5/2)/160

=2^(5/2)/80 =0.0707106

la respuesta correcta es la A

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