El Teorema de Varignon

Este teorema se aplica a un sistema de fuerzas concurrentes.

Su enunciado es el siguiente: "La sumatoria de los momentos de las fuerzas de un sistema, respecto de un punto, es igual que el momento de la resultante de sistema, respecto del mismo punto".

Este teorema es parte de uno más general, que se aplica además a sistemas de fuerzas no concurrentes.

Acá puede suceder que el sistema tenga resultante nula. Sin embargo, la suma de momentos de las fuerzas no es necesariamente nula.

Es este caso el sistema es equivalente a un par de fuerzas paralelas de igual magnitud y distinto sentido. Se denomina "cupla".

En cualquier cuadrilátero, los puntos medios de los lados forman un paralelogramo cuya área es la mitad de la del cuadrilátero original

Los puntos medios de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.

El Teorema de Varignon es un resultado de geometría euclidiana debido a Pierre Varignon, publicado en 1731, y que establece:

Adicionalmente a tener un área igual a la mitad del cuadrilátero asociado, el paralelogramo de Varignon satisface otras propiedades.

• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las longitudes de las diagonales.

• El paralelogramo de Varignon es un rombo si y sólo si las diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud.

• El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y sólo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares.

Como consecuencia:

• El paralelogramo de Varignon es un cuadrado si y sólo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares y tienen la misma longitud.

• Generalizaciones

• Una forma de generalizar el teorema de Varignon es considerar polígonos de más de cuatro lados. Desafortunadamente, el polígono obtenido al unir los puntos medios de un polígono (denominado polígono derivado) no tendrá usualmente lados paralelos ni iguales. Sin embargo:

Si un polígono con 2n lados y vértices satisface que es paralelo e igual a (para ) y si es el punto medio del lado entonces el polígono tiene lados opuestos paralelos e iguales.

• El teorema también se puede generalizar a cuadriláteros que no sean planos (por ejemplo, en el espacio o en dimensiones mayores), y aunque es posible modificar la prueba euclidiana para el caso espacial, se puede dar una demostración vectorial para cubrir el caso de dimensiones mayores.

• Finalmente, considerando un octaedro como una generalización de cuadriláteros al espacio, y tomando los centroides de las caras como equivalentes a los puntos medios de los lados, es posible demostrar que los centroides de las ocho caras forman siempre un paralelogramo.

4.3.2El momento de una fuerza respecto a un eje:

Elegido es el producto de la fuerza por el brazo del momento L=Fs

Siempre debe seleccionarse un eje con respecto al que los momentos de una fuerza pueden ser medidos. El valor del momento producido por una fuerza dada depende del eje elegido. La elección de un eje es completamente arbitraria; no necesita ser un eje real o fulcro. En muchos casos, sin embargo, una elección adecuada del eje respecto del cual tienen que ser calculados los momentos de las fuerzas simplifican mucho un problema, porque puede reducir a cero el momento de una fuerza cuya magnitud o dirección es desconocida.

Ya que el momento de una fuerza es el producto de una fuerza y una distancia, su unidad es una unidad de fuerza por una unidad de distancia

(1). La unidad de momento de una fuerza en el sistema mks es el metro-newton. En el sistema cegesimal, el centimetro-dina. Combinaciones análogas de unidades de fuerza y distancia dan unidades convenientes para el momento de una fuerza.

by Israel Pathrak Tec. Mina

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