El teorema de la divergencia de Gauss

El teorema de la divergencia de Gauss

El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen.

Teorema.- Sea  S una región solida limitada o acotada por una superficie orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de S, si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en V entonces:

[pic 1]         (1)   

donde

S = superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V,

F= campo vectorial arbitrario,

[pic 2]= vector unitario normal a la superficie.

De momento podemos pensar que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V.

Si evaluamos la integral:

[pic 3]

donde S = superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2, y F = x3 i + y3 j + z3 k, obtenemos como resultado 12πa5 / 5.

[pic 4]

Figura1. Representación de x2 + y2 + z2 = a2 en GeoGebra.

Otra forma de resolución es aplicando la formula (1).

Hallaremos la divergencia de F, entonces:

F = x3 i + y3 j + z3 k es

[pic 5]

de modo que podemos calcular la integral

[pic 6]

Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radio a , lo más favorables es realizar un cambio de variable y utilizar las coordenadas esféricas, esto es

[pic 7]

donde el dominio de las variables (ρ, φ, θ) es

[pic 8]

y además

[pic 9]

De modo que la integral en coordenadas esféricas es:

[pic 10]

puesto que x2 + y2 + z2 = ρ 2. Efectuando los cálculos, nos queda

[pic 11]

Se puede observar que el valor obtenido, es el mismo que aplicando la integral doble, sin embargo, se vuelve analíticamente más manejable a través de la divergencia.

Ejemplo 2

Calcular el siguiente flujo

[pic 12]

Donde:

S= superficie del sólido constituido por el plano z = 3x + 2 y el cilindro x2 + y2 = 4.

[pic 13]

Figura2. Representación del plano z = 3x + 2 y el cilindro x2 + y2 = 4.  en GeoGebra.

La divergencia del campo vectorial

F = 2y i + 3z k es

div F = 3.

Por otro lado, para describir el volumen utilizaremos las coordenadas cilíndricas, esto es

[pic 14]

y además

dxdydz=dpdθdz

donde el dominio de las variables (ρ, θ, z) está dado por

[pic 15]

de modo que

[pic 16]

Como podemos observar, la aplicación del teorema de la divergencia se fundamenta en saber calcular simples integrales sobre un volumen, y, a través de estos ejemplos, podemos ver que juega un papel fundamental las coordenadas esféricas y cilíndricas.