Ley De Gauss

DEFINICION DE LA LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.

Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.

El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente

proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como:

0

E dS q



∫⋅

r r

,

donde es la permitividad eléctrica del vacío.

A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. La

superficie cerrada es llamada gaussiana. Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio

tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en

una región "acotada" y una región "no acotada".

La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el

flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo del campo

eléctrico sólo

cuando existe un alto grado de simetría de los cuerpos cargados, como en el caso de una

esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados.

La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral,

Forma Diferencial

Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).

Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.

Forma Integral

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza

la integral, es la carga total encerrada dentro del área A, es la densidad de carga en un punto de y es la permitividad eléctrica del vacío.

DEFINICION DE LA SUPERFICIE GAUSSIANA

Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el electrico debido a una cierta distribución de cargas.

INDUCCION DE LA FORMULA DE LA LEY DE GAUSS

La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico () a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico () que pasa por una superficie.[4] Matemáticamente se la expresa como:

La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (ε0), así:[5] [6]

La forma diferencial de la ley de Gauss es

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