Teorema De La Divergencia De Gauss

Introducción

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.

Para tener una idea acerca del tema definiremos el teorema de Stokes:

En otras palabras lo podemos definir como:

Conocimientos previos

Campo vectorial: Se define campo vectorial, como una función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial. El campo de velocidades de un fluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales.

Resulta útil a veces considerar el lugar geométrico de líneas de campo que se apoyan en una curva cerrada dada, lo cual constituye una superficie que se denomina tubo de campo.

Vector unitario: es el vector cuya magnitud es igual a uno.

Divergencia: si F = Pi+Qj+Rk en un campo vectorial en ³ y dP/dx, dQ/dy y dR/dz entonces, la divergencia de F es la función de tres variables definida por:

Flujo de un campo vectorial: si S define una superficie en el espacio, se denomina flujo del campo vectorial F a través de la superficie S a la expresión:

Siendo uno de los N elementos en que se divide la superficie S. El módulo de corresponde al área del elemento de superficie y su dirección es la normal en ese punto. Existen dos posibles sentidos para el vector normal y debe ser especificado. Por ejemplo, si la superficie es cerrada el sentido que se toma por convención para los elementos de superficie es el saliente del volumen encerrado.

Frontera: se va a entender como los límites de la función.

Teorema de la divergencia de Gauss

El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Específicamente el teorema de la divergencia dice que:

donde S es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V, F es un campo vectorial arbitrario, y donde S es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V, F es un campo vectorial arbitrario, y ṅ es, como siempre, el vector unitario normal a la superficie.

Este teorema relaciona una integral triple extendida a un sólido con una integral de superficie tomada sobre la frontera de dicho sólido.

Concretamente, asegura que el flujo de un campo vectorial hacia el exterior de una superficie es igual a la integral de la divergencia de dicho campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie.

La demostración puede construirse a partir del cálculo de la integral de volumen como suma riemanniana y usando la indefinición de divergencia:

Donde se ha realizado una partición de N volúmenes fundamentales.

La suma de flujos involucrada en la expresión anterior se reduce a los flujos definidos en superficies pertenecientes a la frontera de τ, puesto que los de superficies interiores a τ se cancelan al ser comunes a don contiguos. Los flujos que no se cancelan están definidos justamente en una partición de la superficie Sτ y por tanto se identifica la integral de superficie del enunciado.

De momento podemos pensar que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V. ṅ es, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. En esta sección nuestro objetivo será aplicar este teorema, dejando su demostración para más adelante. De momento podemos pensar que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V.

Este teorema lo usamos en problemas relacionados con campo gravitatorio, campo eléctrico, distribución de cargas lineales, intensidad de radiación, etc.

Nos permite calcular una integral de superficie mediante una integral triple.

Demostración del teorema de divergencia de Gauss

Sea F = (P,Q,R) entonces:

Por otra parte:

A si pues es suficiente establecer las igualdades:

Probaremos que (3), (4) y (5) son validas para sólidos V OYZ, OXZ y OXY

...