Elipse

ELIPSE

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano, la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva.

Los elementos que definen a la elipse son los siguientes:

• Los Focos: Son los puntos fijos representados como F y F’, su distancia se denomina como 2c.

• Eje Focal: Es la recta que se forma entre los Focos, la distancia de ella se denomina como 2c.

• Vértices: Los puntos correspondientes V(a, 0) y V’(-a, 0).

• Centro de la Elipse: Es el punto donde se intersectan el eje mayor y el eje menor de la elipse.

• Eje Mayor de la Elipse: Es el eje que se forma de la recta VV’, es decir, de los vértices.

• Puntos B y B’: Son los extremos del eje menor.

• Eje Menor: Es el segmento que se forma entre B’ (0, -b) y B(0, b).

• Excentricidad: La excentricidad de una elipse es representada con la letra e y es igual a la distancia del centro al foco sobre la distancia del centro al vértice.

Ecuación de la Elipse

Para obtener una ecuación simple de una elipse, elegimos el eje x como la recta que pasa por los dos focos F y F’, con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene las coordenadas (c, 0), con c > 0, entonces, F’ tiene las coordenadas (-c, 0). Por tanto, la distancia entre F y F’ es 2c. La suma constante de las distancias de P desde F y F’ se denotará por 2a. Para obtener puntos que no están en el eje x, debemos tener 2a > 2c; es decir, a > c. Por definición, P(x, y) está en la elipse si y sólo si las siguientes ecuaciones equivalentes son verdaderas:

d(P, F)+ d(P, F’)= 2a

√(x – c)2 + (y – 0 + √(x + c)2+ (y – 0)2= 2ª

√(x + c)2= 2a - √(x + c)2 + y2

Al elevar al cuadrado ambos lados de la última ecuación, obtenemos

x2 – 2cx + c2 + y2= 4a2 – 4a √(x + c) + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2

o bien a√(x + c)2 + y2= a2 + cx

Al elevar nuevamente al cuadrado ambos lados, obtenemos

a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)= a4 + 2a2cx + c2x2

o bien x2 (a2 – c2) + a2y2= a2(a2 + c2)

Al dividir ambos lados entre a2(a2 – c2), obtenemos

X2/a2 + y2/ a2 – c2= 1

Al recordar que a > c y, por consiguiente, a2 – c2

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