Elipse

La elipse

Así como se formo una parábola, tomando una recta llamada Directriz y un punto fijo llamado foco; con la condición de tener la misma distancia; si tomamos el cociente entre ambas distancias dará como resultado 1.

Este resultado se conoce como la excentricidad de la Parábola: e=(|QF| ) ̅/(|QL| ) ̅ = 1; igualmente con los mismos argumentos se forma una Elipse pero; el cociente entre estas distancias está entre 0 y 1.

0<e=(|QF| ) ̅/(|QL| ) ̅ <1

Una forma más sencilla para generar una elipse es, tomando 2 puntos fijos a quien denominamos focos y luego un punto cualquiera del espacio de tal manera que se cumpla la siguiente condición:

|(QF_1 ) ̅ |+|(QF_2 ) ̅ |=Cte.

La distancia de este punto a un foco, más la distancia de este mismo punto al otro foco sea una constante.

Cualquier otro punto que cumpla con el valor de esta constante se tomará como punto de la elipse.

Una vez formada la elipse; puede ingresar intuitivamente las rectas directrices, una a cada lado de su respectivo foco, puede comprobar que se cumple la condición de su excentricidad.

Ahora deberá observar detenidamente todos sus puntos característicos y como se posicionan en la elipse.

El centro de la elipse es (h,k); que a la vez es punto medio entre los vértices o focos

Note que ya no se menciona un eje o recta focal si no el eje mayor, donde se encuentran los focos y vértices y se cumple:

La distancia del centro al: {█(extremo del eje mayor es "a"@extremo del eje menor es "b"@foco es "c")┤ además

Otra propiedad de la elipse es la relación entre las distancias a, b y c; ya que al ser los ejes perpendiculares se forma un triangulo rectángulo que permite relacionarlos.

Nuevamente la ecuación general es difícil de trabajar a menos que se transforme, pero cuando se hace el procedimiento; la ecuación aparece como:

Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0

Es decir tiene todas las características de la circunferencia con la única diferencia que los coeficientes de las variables cuadráticas son diferentes.

Recuerde: “si existen ambas variables al cuadrado, tienen el mismo signo y el mismo coeficiente, podría ser una circunferencia”

si una ecuaciòn tiene las variables cuadràticas,los mismos signos,pero;

diferentes coeficientes podrìa ser una Elipse.

Por ejemplo:

4x^2+3y^2+8x+6y-5=0

Variables cuadráticas, ambas con el mismo signo, pero con diferentes coeficientes; podría ser una elipse, trabajemos como en una circunferencia

Agrupemos: 4x^2+8x+3y^2+6y-5=0

Al tener diferente coeficiente no puede dividir toda la ecuación como en el caso de la circunferencia.

Sacar factor común en cada variable: 4〖{x〗^2+2x}+3{y^2+2y}-5=0

4〖{(x+1)〗^2-1}+3{(〖y+1)〗^2-1}-5=0

4〖(x+1)〗^2-4+3(〖y+1)〗^2-3-5=0

4〖(x+1)〗^2+3(〖y+1)〗^2=12

〖(x+1)〗^2/3+((〖y+1)〗^2)/4=12/12 es decir 〖(x+1)〗^2/3+((〖y+1)〗^2)/4=1

Observe el modelo de una elipse ya trabajada y compare con la circunferencia:

〖(x+h)〗^2/a^2 +((〖y+k)〗^2)/b^2 =1

En este caso siempre (h,k) es el centro de la elipse igual que en la circunferencia, pero la letra “a” se le asignara al mayor de los denominadores que resulte de su trabajo de reducir la ecuación general; en cambio la letra “b” se le asigna al menor denominador, por esta razón la ecuación mostrada puede variar y “a” puede estar bajo la variable “x” o bajo la variable “y”.

Ya se explico de la relación entre “a” , “b” y “c”; por lo tanto: a^2-b^2= c^2.

En el ejemplo que se a deducido se observa que el centro de la elipse es C = (-1,-1)

De los denominadores observe que el mayor es 4, por lo tanto asume la letra “a” y el menor es 3, por lo tanto asume la letra “b”.

Según la ecuación la letra “a = 4” se encuentra bajo la variable “y”; por lo tanto el eje mayor es paralelo al eje “y”.

Ahora si podemos graficar con gran aproximación la elipse; recuerde que lo más importante en su trazo es; su ubicación y además su forma, todos los demás datos se encuentran aparte: vértices, focos, eje menor y el valor de “c”, así como su excentricidad.

Graficando:

Recuerde que lo único real del grafico es el centro y la forma de la elipse todo lo demás ha sido colocado por intuición, los valores deben colocarse a parte, Ud. Solo debe colocar los símbolos, así como las rectas directrices.

Conociendo las distancias se hace sencillo encontrar los focos, los vértices y los extremos de la diagonal menor así como de manera más sencilla la excentricidad.

Con el dato del centro (-1,-1);

vértice V_1=(-1,1); el vértice V_2=(-1,-3)

foco F1 = (-1,0) , y el foco F2 = (-1,-2) ;

Los extremos del Eje menor: B_1=(-1-√3,-1) y B_2=(-1+√3,-1)

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