Enfoques basados en la dependencia a largo plazo

Enfoques basados en la dependencia a largo plazo.

Hay dos razones o tratando de extender el análisis de series de tiempo con las tendencias más allá de los procesos autorregresivos o ARIMA (modelo autorregresivo integrado de promedio móvil). En primer lugar, si queremos considerar siquiera la posibilidad de que las tendencias en series temporales climatológicas son causados por la variabilidad natural, entonces está claro que esta variabilidad debe ser persistente durante mucho tiempo las escalas de otro modo, no podríamos esperar un patrón de calentamiento que persista durante más de un siglo, como parece ser el caso en el registro actual. Esto sugiere buscar modelos que, aunque consistente con series de tiempo estacionarias, tienen correlaciones que se descomponen muy lentamente a grandes retardos. Una segunda razón para mirar a los modelos de esta forma es que la fórmula espectral para la varianza de una estimación de la tendencia implica la necesidad de estimar la densidad espectral bien para frecuencias muy cercanas a 0, y esto sugiere la búsqueda de métodos de estimación que se centran sobre todo en ese gama de frecuencias.

En la actualidad, hay tres enfoques principales para la dependencia a largo plazo. El primero, ya mencionado, se basa en el modelo fraccional ARIMA (7,7), introducido por primera vez de forma independiente por Granger y Joyeux (1980) y Hosking (1981), desarrollada posteriormente por Hosking (1984), Haslett y Raftery (1989) y una serie de otros autores. Estos modelos son paramétricos y se pueden estimar mediante técnicas de máxima verosimilitud, Beran (1994) las revisó en detalle y, como ya se mencionó, Bloomfield (1992) que se utiliza en el contexto del análisis de tendencia climatológica.

El segundo método se basa en la estimación espectral de la dependencia de largo alcance, en el que la estimación se limita a una ventana estrecha de frecuencias cerca de 0. Se aplicó este método para series de tiempo climatológico por Smith (1993) y Smith y Chen (1996).

El tercer método es más reciente y está basada en wavelets, cf. McCoy y Walden (1996), Craigmile (2000). Este método puede ser particularmente ventajoso cuando la serie de tiempo residual puede ser no estacionario además de tener dependencia de largo alcance. 

El enfoque spectral.

Ahora, se discuten algunos detalles del enfoque espectral. Para comenzar con algunas definiciones: supongamos {yt, t = 0, ± 1, ± 2, ...} es una serie de tiempo estacionaria con autocovarianzas ryk = Cov {yt, yt_k} para k> 0. En los casos en que una densidad espectral existe, se puede derivar de las autocovarianzas a través de la fórmula:[pic 1]

El periodograma puede ser definido por:

[pic 2]

y es un estimador aproximadamente imparcial de f (A) para cada A. En la práctica, el periodograma se calcula generalmente solamente en las frecuencias de Fourier, A3 = 27rj / T para j = 0, 1, 2, ..., T / 2.

La segunda modificación muy común de la periodograma es suavizado que implica un promedio de un periodograma sobre vecina frecuencias de Fourier para obtener una función suave. En la presente discusión se trabajará sobre todo con el periodograma en bruto, sin aplicar ya sea disminuyendo o suavizar, en gran parte debido a que el periodograma es vista principalmente como un paso intermedio en la estimación de la dependencia a largo plazo.

dependencia a largo plazo puede ser definido por cualquiera de:[pic 3]

En principio las definiciones más generales son posibles, por ejemplo, incluyendo logarítmica adicional u otras denominadas funciones que varían lentamente en cualquiera parte de, pero en la práctica esta definición suele ser suficiente. La relación entre A y B es:

[pic 4]

que se deriva de una identidad en serie de Fourier.

Supongamos que la ecuación de dependencia a largo plazo es válida y debe tener en cuenta la media de la muestra sobre la base de observacionesT:[pic 5] 

Un argumento asintótico muestra que:

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