Engranajes
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ENGRANAJES
Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes,
conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran,
transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes
colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. Esta
transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes
de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes de la
otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre
ambas, estando durante el movimiento en contacto varios dientes
sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. Los
engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos, cuando éstos
son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales,
cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la
figura (Fig.4.1) se pueden observar dos engranajes cilíndricos
rectos que engranan entre sí, z1 y z2 estando montados sobre los
ejes I y II, siendo el primero estriado, lo que permite al engranaje
z1 deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición.
Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de
hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como el teflón, por ejemplo, etc.
Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste,
motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial
como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está
continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a
elevada velocidad.
Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para el
cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia
entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c) relación
de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir.
Clasificación de los engranajes
Según como los engranajes interactúen entre sí, se los puede clasificar como:
a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí, directamente
una con otra, como es el caso de la figura (Fig.4.1).
b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno
sobre otro a través de un vínculo intermedio o auxiliar,
como es el caso de los engranajes a cadena que se muestra
en la figura (Fig.4.2), donde z1 es la rueda conductora o
motora, la cual se encuentra montada sobre un eje motor y
transmite el movimiento a la rueda conducida z2 a través de
la cadena. Caso de las bicicletas, donde la rueda de menor
diámetro se denomina generalmente piñón.
A su vez, los engranajes de acción directa, según sean las
posiciones de sus ejes, pueden presentar los siguientes casos: 1- sus ejes son paralelos; 2- sus ejes se
cortan; 3- sus ejes se cruzan; 4- engranajes de rueda y tornillo sinfín.
1- Ruedas de ejes paralelos : se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes
paralelos, pudiendo
presentarse distintos
casos, según se
muestran a
continuación:
En la (Fig.4.3) se
tiene una rueda o
piñón z1 que engrana
4
con una cremallera z2, siendo esta última una rueda dentada de radio infinito, por lo tanto el número de
dientes que tendrá es infinito, por lo que se utiliza una porción de la misma, de acuerdo al recorrido o
desplazamiento que se quiera obtener. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son paralelos.
Para una velocidad angular n1 le corresponderá para la cremallera una velocidad v de desplazamiento.
En la (Fig.4.4) se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una
distancia L siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos, de engrane exterior,
pudiendo tener dientes rectos, helicoidales o en V.
En la (Fig.4.5) se observan dos ruedas de engrane interior, una de las
cuales, la de menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor
diámetro, tiene dentado exterior, en tanto que la exterior cuenta con
dientes interiores. La distancia L entre los ejes es igual a la diferencia
de sus radios primitivos.
En la figuras (Fig.4.6), (Fig.4.7) y (Fig.4.8) se puede observar
engranajes de ejes paralelos, de dientes rectos, helicoidales y en V
respectivamente.
2- Ruedas cuyos ejes se cortan: este caso se
presenta en los engranajes cónicos, los que están
construidos de tal modo que si sus ejes se
prolongaran, ellos se encontrarán en un punto o
vértice común. Sus dientes pueden ser rectos, en
arco o en espiral, respondiendo en cada caso a determinadas
condiciones de trabajo y trazado. En la figura (Fig.4.9) se observa un
engranaje cónico de dientes rectos y en la figura (Fig.4.10) un engranaje
cónico de dientes en espiral.
El ángulo a que forman los ejes I y II de los engranajes z1 y z2 respectivamente, al cortarse puede ser:
figura (Fig.4.11a) a = 90º, con lo que se obtiene
un cambio en la transmisión del movimiento de
rotación perpendicular al original; figura
(Fig.4.11b) a < 90º el cambio se produce en
ángulo agudo y figura (Fig.4.11c) a > 90º la
dirección cambia en un ángulo obtuso.
3- Ruedas cuyos ejes se cruzan en el espacio: son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales
cuyos ejes se cruzan en el espacio, lo que permite lograr el cambio de dirección de la transmisión del
movimiento. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua
(Fig.4.12), formando un ángulo a menor a 90º o en forma
perpendicular (Fig.4.13), donde es a igual a 90º. Estos
engranajes son de dientes helicoidales.
4- Engranajes de rueda y tornillo sinfín: se pueden presentar tres casos, según sea el perfil de los
dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente, los cuales se indican
esquemáticamente en la figura: en la (Fig.4.14a) se tiene ambos de perfiles cilíndricos, la (Fig.4.14b)
muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico, y en la (Fig.4.14c) tanto la rueda
como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. La (Fig.4.14d) muestra como engranan una rueda
de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico.
Elementos de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. Notación
Cuando dos engranajes engranan entre sí, el contacto que hacen los dientes de ambos se realiza en la
línea que marca el perímetro de la superficie de dos cilindros lisos
ideales, pertenecientes a cada uno de ellos, que se transmiten por
fricción el movimiento de rotación de sus ejes sin deslizar uno
sobre otro, denominados cilindros primitivos, constituyendo la
circunferencia de cada superficie, la circunferencia primitiva de los
engranajes. Los distintos parámetros de un engranaje y el cálculo de
los mismos están referidos a su circunferencia primitiva. Por lo
general se denomina al engranaje de mayor diámetro rueda y al de
menor diámetro piñón. A continuación se ilustra la terminología
básica más usada de los distintos elementos que componen un
engranaje, mostrándose en las figuras que siguen los mismos. En la
figura (Fig.4.15) se indican las circunferencias primitivas del piñón
y de la rueda, cuyos ejes O1 y O2 están separados la distancia L. En
ella se observan además, los diámetros primitivos Dp de la rueda y
dp del piñón y sus radios primitivos Rp y rp respectivamente; se
indica con n1 el número de vueltas por minuto con que gira la rueda
y con n2 con la que gira el piñón, siendo z1 y z2 el número de dientes
de cada uno de ellos respectivamente; v es la velocidad tangencial
del punto de contacto de los dientes. En la figura (Fig.4.16) se muestran dos dientes de la rueda, en la
que se notan:
- Paso Circunferencial pc: es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos,
medido sobre la circunferencia primitiva, siendo igual para la rueda y para el piñón, denominándose
en este caso, ruedas homólogas, siendo por lo tanto:
1 z2
d
z
D
p p p
c
p p
= =
(4.1)
El paso circunferencial pc se lo obtiene
dividiendo, en tantas partes como
dientes tenga la rueda o piñón, la
circunferencia primitiva.
- Paso Diametral en pulgadas
(Diametral Pitch) pd : es el número de
dientes que tiene un engranaje por
cada pulgada del diámetro primitivo:
p p
d d
z
D
z
p 1 2 = =
(4.2)
En la (4.1) pasando Dp y dp al
denominador se obtiene:
d
p p
c p
d
z
D
z
p
p p p
= = =
1 2
(4.3)
- Módulo o Paso Diametral M:
siendo pc un número irracional por
contener su determinación el
número irracional p, lo serán
también todas las dimensiones del
engranaje que son función del paso
circunferencial, por lo que para
resolver este inconveniente se
divide ambos miembros de la (4.1) por p, obteniéndose el módulo M, el cual se toma como base de
cálculo de los engranajes, resultando:
1 z2
d
z
p D
M c p p = = =
p (4.4)
Es decir que para que dos engranajes puedan engranar entre sí, sus módulos deben ser iguales.
En la figura (Fig.4.17) se observa, para un engranaje cualquiera, con número de dientes z = 10 y Dp =
60 mm, es el módulo M = 6 mm.
- Circunferencia de fondo (interior) o de raíz, es la circunferencia cuyo diámetro es Di (Fig.4.16), y
su radio es Ri (Fig.4.17) y corresponde al cilindro en el cual se encuentra arraigado el diente.
- Circunferencia de cabeza o exterior, es la circunferencia descripta por la cabeza de los dientes, de
diámetro De (Fig.4.16) y radio Re (Fig.4.17).
- Circunferencia primitiva, es la circunferencia de contacto de los cilindros primitivos.
- Altura de cabeza del diente o adendo: es la altura radial a del diente (Fig.4.17), medida entre la
circunferencia primitiva y la circunferencia de cabeza o exterior.
- Altura del pié del diente o dedendo: es la altura radial d del diente (Fig.4.17), medida entre la
circunferencia primitiva y la circunferencia de raíz.
- Altura del diente: es la suma h de la altura de cabeza y la del pié del diente (Fig.4.17):
h = a + d (4.5)
- Espesor del diente: es el grueso e de un diente (Fig.4.17), medido sobre la circunferencia primitiva.
Se lo toma generalmente como la mitad del paso circunferencial.
2
c p
e =
(4.6)
O reemplazando en la (4.6) el valor de pc dado por la (4.3):
d p
e
2
p
=
(4.7)
- Vacío o hueco del diente: es el hueco V entre dos dientes consecutivos, en el cual penetra el diente
de la otra rueda que engrana con ésta. Teóricamente es igual al espesor, pero en la ejecución práctica
de un engranaje, a los efectos de evitar el calentamiento por rozamiento y a las inexactitudes, tanto en
la construcción como en el montaje, que siempre se tiene en forma no deseable pero inevitable, es
mayor ya que presenta un juego tangencial o lateral, siendo este
juego restado del espesor y sumado al vacío del diente.
- Juego radial o de fondo y Juego lateral o tangencial del diente:
también llamados holguras del diente, son los espacios Jr y Jl
respectivamente que quedan, el primero entre la cabeza del diente
de una de las ruedas y la circunferencia de raíz de la otra a efectos
de evitar la presión que pueda producir el contacto entre ambos, y
el segundo entre los perfiles de los dientes como ya se dijera en el
punto anterior y además para permitir la deflexión de los mismos, permitir la lubricación y la
dilatación térmica, cuando están engranando entre sí (Fig.4.18).
Relaciones fundamentales de ruedas cilíndricas de dientes rectos
Analizando la figura ya vista (Fig.4.15), de la misma resulta que las velocidades angulares 1 y 2 en
radianes sobre segundo, en función de n1 y n2, están dadas por las expresiones:
a) 1 = 2p.n1 y b) 2 = 2p.n2 (4.8)
La relación de transmisión del movimiento, i, se define como el cociente entre las velocidades
angulares w1 de la rueda motora y w2 de la rueda conducida:
2
1
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
i = = =
p
p
w
w
(4.9)
Por ser v1 = v2 = v y además, por ser v = R., por la (4.8) se tiene:
60
)
60
) 2
2
1
1
d n
y b v
D n
a v p p p p
= =
(4.10)
es:
60 60
D n1 d n2 p p p p
=
(4.11)
De la (4.11), haciendo pasajes de términos, y por ser Dp = 2Rp y dp = 2rp, resulta:
p
p
p
p
R
r
D
d
n
n
= =
2
1
(4.12)
De la (4.4), haciendo pasajes de términos se obtiene:
1
2
z
z
R
r
D
d
p
p
p
p = =
(4.13)
Por lo tanto, de las expresiones (4.9), (4.12) y (4.13) se obtiene una expresión generalizada para la
relación de transmisión:
1
2
2
1
2
1
z
z
R
r
D
d
n
n
i
p
p
p
p = = = = =
w
w
(4.14)
De la (4.14) se pueden obtener los valores de cada parámetro en función del resto de los otros
haciendo pasajes de términos, así se obtienen, por ejemplo
a) 1
2
1 2 2 2
z
z
n
R
r
n
D
d
n n
p
p
p
p = = =
o b) p
p
p
p
r
R
z
d
D
z
n
n
z z 2 2
1
2
1 = 2 = =
(4.15)
La distancia L entre ejes de los engranajes es:
p p
p p R r
D d
L = +
+
=
2 (4.16)
Además, de la (4.13) o (4.14) se obtiene, haciendo pasajes de términos:
2
1
z
z
R rp p =
(4.17)
Por lo tanto, la (4.16) se puede escribir como:
= + = +1
2
1
2
1
z
z
r r
z
z
L r p p p
(4.18)
Si de la (4.18) se despeja rp:
a) 1
2
2
1 1 1
n
n
L
z
z
L
rp
+
=
+
=
o b) 1
2
2
1 1
2
1
2
n
n
L
z
z
L
d p
+
=
+
=
(4.19)
O también:
a) 2
1
1
1 2 1
n
n
L
z
z
L
Rp
+
=
+
=
o b) 2
1
1
2 1
2
1
2
n
n
L
z
z
L
Dp
+
=
+
=
(4.20)
Forma de los dientes
Para engranajes cilíndricos, por lo general el perfil de los dientes es de
forma prismática cilíndrica. La forma de las caras anterior abcd y
posterior a’b’c’d’(Fig.4.19), son simétricas respecto del radio que pasa
por el punto medio del arco comprendido entre las curvas del diente ad
y bc en la cara anterior y a’d’ y b’c’ en la cara posterior, tomado sobre
la circunferencia primitiva de la rueda.
Engranajes homólogos
Dos o más ruedas dentadas son homólogas cuando ellas pueden engranar entre sí. Para ello deben
tener igual paso circunferencial pc y por consiguiente, igual módulo M. En la figura (Fig.4.15) ambos
engranajes son homólogos, siendo las dimensiones de los dientes iguales, variando únicamente los
diámetros de raíz, primitivos y de cabeza y por lo tanto el número de dientes.
Perfil del diente
El trazado del perfil del diente es de suma importancia, ya que de ello dependerá que no existan
choques o contactos bruscos entre los engranajes. A los efectos de evitar la arbitrariedad en la
construcción del perfil del diente, ya que podrían existir un número muy grande de formas, lo cual
resultaría antieconómico y muy poco práctico, se han establecido curvas sencillas de ejecutar
técnicamente, como son las Curvas Cíclicas, las que generan perfiles de dientes: a) Cicloidales, que a
su vez pueden ser: 1- Cicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin resbalar
sobre una recta fija; 2- Epicicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin
resbalar, apoyado exteriormente sobre una circunferencia de mayor diámetro quen está fija; 3-
Hipocicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que gira sin resbalar, apoyado
interiormente sobre una circunferencia que está fija; 4- Pericicloide: curva engendrada por el punto de
una circunferencia que rueda sin resbalar sobre un círculo fijo interior a ella, ambos en un mismo
plano; b) Evolvente de círculo, que es una curva engendrada por el punto de una recta que gira sin
resbalar sobre una circunferencia que está fija.
Si bien con las curvas cicloidales se obtienen perfiles más exactos, de menores rozamientos, desgaste
y choques de los dientes, estas ventajas pueden existir únicamente cuando la distancia entre los centros
de los engranajes se mantienen rigurosamente. Con la evolvente de círculo, el perfil obtenido es más
simple y fácil de ejecutar, no exigiendo además mantener la distancia entre ejes invariable para que el
engrane se realice en buenas condiciones. Actualmente el trazado del perfil de los dientes no es tan
importante como antes, ya que son obtenidos mediante fresado o tallado.
Para el trazado práctico de la evolvente de círculo (Fig.4.20) se
procede de la siguiente forma: se traza con radio cualquiera R y
centro en O la circunferencia base, de la cual se toma un
determinado arco. A partir de un punto inicial o sobre este arco se
efectúan divisiones con los puntos a, b, c y d a partir de los cuales
se trazan los radios Oo, Oa, Ob, Oc y Od. Se trazan las rectas
perpendiculares a estos radios: aA, bB, cC y dD. Haciendo centro
sucesivamente en a, b, c y d, con radios ao, bA, cB y dC
respectivamente, se trazan los arcos oA, AB, BC y CD, resultando
con aproximación suficiente la curva oABCD la evolvente del
círculo. Con esta curva se está en condiciones de trazar el perfil del
diente a evolvente de círculo.
Trazado práctico del perfil del diente de evolvente de círculo
Para efectuar el dibujo de un
engranaje, el cual no exige una gran
exactitud, se procede de la siguiente
manera (Fig.4.21): tomando el
engranaje cuya circunferencia
primitiva tiene radio Rp = OC y
centro el punto O; se conocen las
alturas a y d de la cabeza y del pié
del diente respectivamente, lo que
permite trazar las circunferencias de
cabeza de radio Re y la de raíz de
radio Ri. Se traza la recta Oy y la
recta m-n perpendicular a la
primera, la que es tangente a la
circunferencia primitiva en el punto
C. Por este punto se traza una recta
tangente en el punto G a la
circunferencia de radio OG, que es
la circunferencia base o de
construcción para el perfil a
evolvente de círculo, la cual recibe
el nombre de recta de presiones y
que forma un ángulo comprendido
entre 15º y 25º con la m-n, el cual
dependerá del número de dientes del engranaje. Haciendo centro en G, si se traza el arco ACB con
radio GC limitado por la circunferencia de cabeza y la de base, el mismo resulta casi coincidente con
la evolvente de círculo que correspondería al punto A que está sobre dicha circunferencia. Este arco
ACB es parte del perfil del diente, el cual se completa trazando el radio OA. El perfil por debajo del
punto A no es afectado, según la experiencia, por el engrane de las ruedas que engranarían con la del
trazado, motivo por el cual se puede terminar redondeándolo a voluntad en el entalle para evitar la
concentración de tensiones en el ángulo vivo, reforzando al mismo tiempo la base del diente.
La línea de engrane es coincidente con la prolongación de la recta GC para los dientes de perfil a
evolvente de círculo y además con la recta de acción de la dirección del empuje o presión que le ejerce
el diente del otro engranaje que engrana con ella.
Una vez que se obtuvo el perfil de uno de los flancos del diente, el otro se traza en forma simétrica.
Determinando el punto C’, ya que se conoce el espesor e del diente sobre la circunferencia primitiva
dado por la (4.6), con radio GC y centro en C’ se corta la circunferencia de construcción en el punto
G’. Con centro en G’ y radio G’C’ se traza el arco A’C’B’ con lo que se construye el otro flanco del
diente, de igual forma que el del lado opuesto. Se puede además trazar el eje de simetría del diente que
pasa por el punto medio del arco CC’.
Para construir todos los dientes se divide la circunferencia primitiva en el doble de partes como dientes
tiene, o sea 2z partes, estando todos los centros de los arcos de evolvente (G, G’, etc.) sobre la
circunferencia de base.
Interferencia en los engranajes de
evolvente
La evolvente no puede introducirse dentro
de la circunferencia base de la cual es
generada. Si el piñón gira en el sentido
contrario a las agujas del reloj según se
indica en la figura (Fig.4.22), el primer
contacto entre los perfiles de los dientes se
hace en e y el último punto de contacto en g,
donde la línea de presión es tangente a las
circunferencias bases. Si el perfil del diente
del piñón se extiende más allá de un arco de
circunferencia trazado por g interferirá en i,
según se observa en la figura, con la parte
radial de la rueda (de mayor diámetro), solamente evitable si se rebaja el flanco del diente del piñón.
Esta interferencia limita la altura de la cabeza del diente, y a medida que el diámetro del piñón se hace
más chico, la longitud permitida de la cabeza del diente de la rueda se hace más pequeña. Para que dos
engranajes engranen sin interferencia, el contacto entre sus dientes debe realizarse dentro de los
límites g-e de la línea de presión.
En la figura (Fig.4.23) se observa que para actuar sin interferencia, el punto más alejado del engranaje
conducido A (rueda) debe pasar por el punto e, que pertenece al diámetro límite de la circunferencia de
adendo del engrane, ya que si fuera mayor, el contacto se realizaría fuera de los límites g-e ya
mencionados introduciéndose dentro de la circunferencia base.
Analizada geométricamente la figura (Fig.4.23), el diámetro máximo exterior Ae, de la cabeza del
diente o adendo, del engranaje conducido A (rueda) está dado por la expresión:
Ae = R + a = ( )2 ( )2
Ag + ge = j ( ) j R2 cos2 + R + r 2 sen2 (4.21)
Si se denomina zR y zr al número de dientes de la rueda y del piñón respectivamente, siendo pd el paso
diametral dado por la (4.2), se obtiene:
a) d
R
p
z
R
2
=
y b) d
r
p
z
r
2
=
(4.22)
Si además se pone en función del paso diametral y de un coeficiente m, el cual depende de las
proporciones elegidas entre las dimensiones del diente y el paso diametral, el valor del adendo a,
resulta:
d p
m
a =
(4.23)
El coeficiente m depende de la norma con que se dimensione el diente. Para engranes de profundidad
completa en la norma americana, es m = 1; para dientes chatos es m = 0,8. Existen tablas que dan las
proporciones de los dientes en función del ángulo de presión, del paso diametral y del paso circular. Si
en la expresión (4.21) se reemplazan R, r y a por sus valores dados por la (4.22) y (4.23) y operando se
obtiene:
( )
j 2
2 4
2
sen
m z m
z z z R
r r R
+
+ =
(4.24)
Para un piñón de zr dientes y una cremallera zR = la (4.24) se reduce a:
j 2
2
sen
m
zr =
(4.25)
Para una relación conocida de m y conociendo el ángulo de presión , con las expresiones (4.24) y
(4.25) se puede obtener el número mínimo de dientes zr del piñón que puede engranar con una rueda
de zR dientes, sin interferencia entre ambos. Para el mismo piñón de zr dientes, solo podrán engranar
con él ruedas de menor número de dientes que zR, ya que para ruedas de mayor cantidad de dientes
habrá interferencia.
Línea de engrane
La línea de engrane es el lugar geométrico formado
por todos los puntos de contacto de dos dientes
durante el giro de las ruedas que engranan entre sí.
Para que el contacto entre los dientes sea continuo y
no existan choques, la longitud de la línea de
engrane debe ser mayor que la longitud del arco
correspondiente al paso circunferencial. La línea de
engrane se encuentra limitada por las
circunferencias exteriores. En la figura (Fig.4.24) se
observa, además de distintos parámetros de los
engranajes, la línea de engrane de un engranaje con
dientes de perfil cicloidal, siendo ésta la formada
por los arcos de curvas MON pertenecientes a los
círculos generadores de radio r, y limitada por las circunferencias de cabeza.
Duración del engrane o relación de contacto
La duración del engrane es la relación existente entre el largo de la línea de engrane y el largo del arco
del paso circunferencial. Para que exista siempre un diente engranando con otro, esta relación debe ser
mayor que 1. Por lo general debe ser:
51,25 a 1, 0
Longitud del paso circunferencial
Longitud dela línea de engrane
=
Se procura hacer esta relación lo más elevada posible para repartir la carga que se transmitirá sobre el
mayor número de dientes. Cuanto menor
sea el número de dientes de una rueda,
se debe tratar de lograr una mayor
duración del engrane. Por ejemplo, para
piñones de 15 dientes y cremalleras se
adopta de 1,64 a 2,12.
Línea de engrane de dientes de
perfiles a evolvente de círculo
La línea de engrane de perfiles a
evolvente de círculo es una línea recta
que coincide con la recta de presiones,
según lo ya visto precedentemente, y
que resulta tangente a las circunferencias
de construcción de ambos engranajes,
limitada por las circunferencias de
cabeza. En la figura (Fig.4.25) se puede
observar la línea de engrane formada por
el segmento MON para dos engranajes limitado por las circunferencias de cabezas, coincidiendo estos
límites, para este caso especial, con los puntos tangentes a la circunferencia de construcción.
Ángulo de presión
El ángulo a (Fig.4.26) que forma la recta de presiones
con la horizontal tangente a las circunferencias primitivas,
se denomina ángulo de presión. Los valores de este
ángulo están en función del número de dientes y se los ha
obtenido de grado en grado, estando tabulados.
Algunos de los valores del ángulo de presión, según el
número de dientes son los siguientes:
Nº de dientes Ángulo Nº de dientes Ángulo
8 25º 20 17º 30’
10 22º 30’ 25 15º
15 20º 30 14º 30’
La relación que liga los distintos parámetros indicados en
la figura (Fig.4.26), es decir a r, R, y a es la siguiente:
r1 = R1 cosa (4.26)
r2 = R2
cosa (4.27)
Siendo r1 y r2 los radios de la circunferencias bases, R1 y R2 los radios de las circunferencias primitivas
y a el ángulo de presión.
Fuerzas sobre el diente
En el engrane de dos engranajes cilíndricos (Fig.4.27), o
engranaje y cremallera (Fig.4.28), si bien están en contacto
por lo general dos o tres dientes, se considera que la fuerza
ejercida por la rueda motora sobre la conducida se realiza a
través de un solo diente. Esta fuerza Fn tiene la dirección de la recta de presión, formando el ángulo a
con la tangente a las circunferencias primitivas y está aplicada en el punto O de contacto de ambos
dientes. La misma puede descomponerse por lo general en tres componentes, una fuerza tangencial Ft,
que es la fuerza que produce el movimiento rotativo, una fuerza radial Fr y una fuerza axial Fa,
soportadas ambas por los órganos de sujeción del engranaje, siendo la última de ellas nula en los
engranajes rectos, como es el caso que se analiza. Del sistema de fuerzas indicados en la figura
(Fig.4.27), aplicado en el punto O, Fn es la resultante solo de Ft y Fr para dientes rectos, siendo normal
a la tangente que pasa por el punto O de contacto de los dos dientes y tiene además la dirección de la
recta de presión.
La potencia transmitida tangencialmente al movimiento de giro por la rueda motora a la conducida es
N, siendo n la velocidad de rotación en vueltas por minuto (rpm). Para el radio primitivo R, la
velocidad tangencial v del punto O de contacto de los dientes sobre el radio primitivo, según la (4.8) y
la (4.10) resulta:
v = .R = 60
2p Rn
(4.28)
La potencia N en la dirección tangencial del
movimiento es:
N = Ft .v = 60
F 2 Rn t p
(4.29)
De la (4.29) se obtiene:
Rn
N
Rn
N
v
N
Ft 9,55
2
60
= = =
p (4.30)
Por otra parte resulta, según la figura (F.4.27):
a) cosa
t
n
F
F =
y b) Fr = Ft tg (4.31)
Por lo tanto, reemplazando en la (4.31) el valor de Ft dado por la (4.30) se obtiene:
a) cosa
9,55
Rn
N
Fn =
y b)
tga
Rn
N
Fr = 9,55
(4.32)
El momento de rotación será:
M = Ft.R (4.33)
Para N en vatios, v en m/s y R en metros resultan Ft, Fr y Fn en Newton y M en Newton-metro, estando
sus valores dados por las expresiones anteriores. Para N en CV, R en centímetros y v en m/s resultan
Ft, Fr y Fn en kg y M en Kgcm, y las expresiones anteriores se escriben:
a) 60.100
2 R n
v
p
=
y b) 75
P.v
N =
(4.34)
Reemplazando el valor de v dado por la (4.34a) en la (4.34b) resulta:
71620
P.R.n
N =
(4.35)
Y el momento de rotación:
n
N
M = P.R = 71620
(4.36)
Siendo:
a) n
N
R
Ft
71620
=
b) cosa
71620 1
n
N
R
Fn =
c)
tga
n
N
R
Fr
71620
=
(4.37)
Sistemas normalizados utilizados para la fabricación de engranajes (con perfiles a evolvente de
círculo)
Todas las expresiones vistas son para dientes normales y de
uso más generalizado. Sin embargo existen, aunque no
varíen fundamentalmente el cálculo, otros sistemas
desarrollados por diferentes firmas que presentan
características especiales, ya sea para darle mayor
resistencia al diente o lograr engranes en condiciones
especiales. Debido a la gran cantidad de proporciones de
dientes, y a los efectos de permitir la intercambiabilidad, se
normalizaron los mismos en base a un número limitado de
dientes. En los distintos países se han establecido sistemas
normales para diferentes tipos de engranes, como por
ejemplo la norma de la Asociación Americana de
Fabricantes de Engranajes (AGMA) y Asociación
Americana de Normas (ASA) en los Estados Unidos, la
Comisión de Normalización Alemana (DIN), Comité de
Normalización Francés (C.N.M.), especificaciones etc.
Estos sistemas establecen las relaciones entre la altura de la
cabeza del diente, la altura del pié del diente, el ángulo de
presión, el espesor del diente, etc. A continuación se verán los parámetros característicos de los
principales sistemas, los cuales se indican en la figura (Fig.4.29) en forma genérica, dándose para cada
caso particular del sistema que se mencione, el valor de cada uno de ellos, según corresponda.
Sistema Brown - Sharpe
Por lo general este sistema está asociado al uso del sistema métrico decimal, estableciendo la
proporcionalidad del engranaje en función del módulo, estando tabulados hasta el módulo 20 al que le
corresponde una altura del diente de 43,32 mm. Sus parámetros principales son:
Ángulo de presión: a =15º (4.38)
Espesor del diente: e = ½ pc= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.35)
No presenta juego lateral en el engrane por no admitirse el mismo en todos los dientes normalizados.
Altura de la cabeza del diente: a = M (4.36)
Altura del pié del diente: d = 7/6M = 1,166M (4.37)
Esta altura es mayor que la de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del
engranaje.
Altura total del diente: h = a + d =2,166M (4.38)
Diámetro primitivo: Dp = z.M (4.39)
Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.M + 2M = M(z + 2) (4.40)
Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1,1666M = Dp – 2,332M = M(z – 2,332) (4.41)
El módulo se lo puede obtener en función del diámetro exterior y del número de dientes de la (4.40)
por traspaso de términos:
Módulo: + 2
=
z
D
M e
(4.42)
Juego radial: J = 0,166M (4.43)
Además, de la (4.37) y de la (4.43) resulta que es:
h – J = 2M (4.44)
Sistema Fellows normalizado
Este sistema utiliza el mismo valor del ángulo de presión que el usado para el cálculo normal de
engranajes, según las fórmulas vistas anteriormente, pero variando la altura del diente.
Ángulo de presión: a = 14º30’ (4.45)
Espesor del diente: e = ½ pc= 1,57 M = V (vacío entre dientes) (4.46)
Altura de la cabeza del diente: a = M (4.47)
Altura del pié del diente: d = 5/4M = 1,25M (4.48)
Este sistema también presenta la altura del pié del diente mayor que la altura de la cabeza para que
exista juego entre esta última y el fondo del engranaje.
Altura total del diente: h = a + d = 2,25M (4.49)
Diámetro primitivo: Dp = z.M (4.50)
Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.M + 2M = M(z + 2) (4.51)
Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1,25M = z.M – 2,5M = M(z – 2,5) (4.52)
El módulo M se lo puede obtener de la (4.51) en función del diámetro exterior y el número de dientes,
por traspaso de términos:
Módulo: + 2
=
z
D
M e
(4.53)
Juego radial: J = 0,25M (4.54)
Además de la (4.49) y de la (4.54) resulta ser:
h – J = 2M (4.55)
Sistema Stub de dientes acortados (sin puntas)
Este sistema, que fue utilizado por primera vez por la firma Fellows Shaper Co., y se aplica para darle
menor altura al diente que uno normal, con lo que se logra su mayor robustez, fortaleciéndolo
mayormente en su raíz. Utiliza dos módulos, uno mayor Me y otro menor inmediatamente inferior Mh,
en la construcción del engranaje; con el primero, el mayor, se construyen el paso, los diámetros, el
espesor y número de dientes y con el segundo, el menor, solo se utiliza para determinar la altura de los
dientes, resultando un módulo compuesto.
Módulos: Me/Mh (4.56)
Ángulo de presión: a = 1,57Me (4.57)
Espesor del diente: 1/2 pc = 1,57Me (4.58)
Altura de la cabeza del diente: a = Mh (4.59)
Altura del pié del diente: d = 1,20Mh (4.60)
La altura del pié del diente mayor que la de cabeza permite el juego radial necesario para evitar el
contacto del diente con el fondo del otro engranaje.
Altura total del diente : h = a + d = 2,20Mh (4.61)
Diámetro primitivo: Dp = z.Me (4.62)
Diámetro exterior: De = Dp + 2a = z.Me + 2Mh (4.63)
Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp - 2×1,20Mh = zMe – 2,4Mh (4.64)
Juego radial: J = 0,20Mh (4.65)
Por la (4.61) y la (4.65) se tiene:
h – J = 2Mh (4.66)
Ruedas dentadas interiormente
Los engranajes internos tienen los dientes tallados con la cabeza orientada hacia el interior de la rueda,
como puede observarse en la figura (Fig.4.30). La forma de los dientes es igual a la forma del vacío de
un engranaje externo y la altura de la cabeza se mide hacia el centro de la circunferencia primitiva. El
vacío del diente es igual al perfil de un diente externo. Los engranajes internos engranan solo con
piñones, o sea con engranajes externos de menor diámetro. Debe tenerse cuidado con el largo del
diente a los efectos de evitar la interferencia, motivo por el cual el número de dientes del piñón está
limitado a una cantidad inferior a la del engranaje interno, debiendo en casos particulares proyectarse
los dientes del engranaje con un trazado especial. Para el mismo número de dientes de la rueda y el
piñón, la longitud de la línea de engrane es mayor que para un engrane externo, existiendo además un
mayor número de dientes en contacto. Con un engrane interno se obtiene el mismo sentido de rotación
para ambas ruedas, por lo que se elimina el engranaje loco utilizado en los externos para lograrlo.
Debido a que la rueda menor o piñón se encuentra dentro de la mayor de engrane interno, está limitada
la relación de transmisión.
En la figura (Fig.4.30a) se observa un engrane interno con su piñón y la descripción de las diferentes
partes. La holgura de corte es utilizada para que pueda entrar y salir la herramienta y la rebaba en el
maquinado del engranaje.
En la figura (Fig.4.30b) se indican los distintos parámetros de un engranaje interno, cuyas expresiones
analíticas se muestran a continuación:
Altura de cabeza del diente: a = M (4.67)
Altura de pié del diente: d = 1,166M (4.68)
Altura total del diente: h = 2,166M (4.69)
Diámetro primitivo: Dp = zM (4.70)
Diámetro exterior: De = Dp –2a = zM – 2M = M(z – 2) (4.71)
Diámetro interior: Di = Dp – 2d = zM - 2×1,166M = M(z – 2,166) (4.72)
Juego radial: J = 0,166M (4.73)
Distancia entre ejes:
( r p )
p p z z
D d M
L = −
−
=
2 2 (4.74)
Siendo en la (4.74) dp y zp el diámetro primitivo y número de dientes del piñón con dientes exteriores.
Los demás elementos de los engranajes interiores se determinan como en los engranajes dentados
exteriormente.
Cremallera
La cremallera, según se puede observar en
la figura (Fig.4.31) es un engranaje de radio
infinito, por lo que teóricamente tiene un
número infinito de dientes, resultando recto
el tramo que engrana con un engranaje
común de radio finito, denominado
generalmente piñón. Mientras el engranaje
cilíndrico gira sobre su eje, la cremallera
tiene un movimiento de traslación rectilíneo. Como a medida que crece el número de dientes de un
engranaje, el trazado del perfil del diente a evolvente de círculo se vuelve más rectilíneo, en el límite,
cuando el radio se hace infinito, como es el caso de la cremallera, este perfil se hace recto. El ángulo
de presión a puede tener una inclinación de 14,5º o 20º, pudiendo los dientes ser del sistema normal o
cortos, utilizándose además para el sistema Fellows dos módulos, siendo el primero para obtener el
diámetro primitivo y el espesor del diente, y el segundo para el largo del diente. El flanco del diente
está inclinado un ángulo a respecto al eje de simetría del mismo. La cremallera y el engranaje
cilíndrico que engrana entre sí deben tener el mismo módulo.
Para una cremallera normal que engrana con un piñón de z dientes se tiene:
Diámetro primitivo: Dp = zM (4.75)
Altura de cabeza del diente: a = M (4.76)
Altura del pié del diente: d = 1,166M (4.77)
Paso circunferencial: pc = pM (4.78)
Espesor del diente: e = 2
c p
(4.79)
Juego radial: Jr = 0,166M (4.80)
Cálculo de la resistencia del diente (dimensionamiento)
Es importante dimensionar correctamente el diente a los efectos de lograr la resistencia adecuada del
mismo. A los efectos de calcular los esfuerzos a que están sometidos los dientes que están
interactuando en un engrane, se deben tener en cuenta diversos factores como son principalmente la
cantidad de dientes en contacto simultáneos, la variación de la carga en magnitud y dirección durante
el tiempo en que están en contacto, a las cargas de choques de los dientes por imperfecciones
constructivas, concentración de esfuerzos en la base del diente, desgaste del diente, la geometría
propia del diente, etc. Es decir que el diente experimenta esfuerzos dinámicos y cargas de desgaste.
En principio la resistencia del engranaje se calcula suponiendo al diente como si fuera una viga en
voladizo, basado en la resistencia a la rotura del material sometido al esfuerzo que genera la potencia
transmitida. Al respecto se aplican distintas hipótesis de cálculo, siendo alguna de ellas las siguientes:
Primera hipótesis: considera que la fuerza a la cual está sometido el diente es tangencial, que la
misma es resistida por un solo diente y está aplicada en la circunferencia exterior sobre la cabeza del
diente.
En realidad la fuerza Fn que actúa sobre el diente tiene la dirección de la recta de presión, estando la
fuerza tangencial Ft dada por la expresión (4.31a):
Ft = Fn cosa (4.31a)
De la (4.31a) se obtiene:
cosa
t
n
F
F =
(4.81)
Por lo general la fuerza que actúa sobre un engranaje
es resistida por dos y hasta tres dientes, lo que
compensa la utilización de la fuerza tangencial Ft
menor que la Fn.
La fuerza Ft, figura (Fig.4.32a) produce un momento
flector dado por la expresión:
Mf = Ft.h (4.82)
La sección resistente W en la base del diente (Fig.4.32b) es:
6
. 2 b e
W
¢
=
(4.83)
El momento flector Mf en función de la resistencia unitaria a la flexión s
f del material y de la sección
resistente W es:
Mf = W. s
f (4.84)
De las expresiones (4.82), (4.83) y (4.84) se obtiene:
t f
b e
F h s
6
.
.
2 ¢
=
(4.85)
Los valores de e¢, b y h se pueden poner en función del paso circunferencial, considerando la
expresión (4.6) y que en la práctica es e< e¢ se tendrá:
e
pc =
2 < e¢ (4.86)
Por lo que la (4.86) puede escribirse de la siguiente forma:
e¢ = c.pc (4.87)
Si se adopta c = 0,52 se tendrá:
a) e¢ = 0,52pc de donde es b) e¢2 = 0,27
2
c p (4.88)
Así también el espesor b del diente puede escribirse:
b = S.pc (4.89)
En la (4.89) se toma S =2 para dientes en bruto; S = 2 a 3 para ruedas de transmisión común; S hasta 5
para transmitir fuerzas considerables.
La altura h del diente se toma:
p
c p
h = 2,2
(4.90)
De la (4.1) se tiene:
a) z
R
pc
2p
=
b) 2p
p z
R c =
(4.91)
Si se sustituyen los valores de e¢2, b y h dados por las (4.88b), (4.89) y (4.90) respectivamente en la
expresión (4.85) se obtiene:
c c f
c
t S p p
p
F s
p
. .0,27 2
6
1
.2,2 =
(4.92)
Multiplicando ambos miembro de la (4.92) por la (4.91b) operando y despejando pc
3 , resulta:
f
t
f
t
c zS
F R
zS
F R
p
s s
3 97,7 100 = »
(4.93)
Despejando pc de la (4.93) se tiene:
3 4,64 3
100
f
t
f
t
c zS
F R
zS
F R
p
s s
= =
(4.94)
Como es el módulo, por la (4.4) p
c p
M =
, la (4.94) puede escribirse:
1,47 3
f
t
zS
F R
M
s
=
(4.95)
Segunda hipótesis: para este caso también se supone que la relación de contacto es mayor que la
unidad y por lo menos dos dientes participan de la transmisión de la fuerza o potencia. En este caso la
carga se considera aplicada en la generatriz primitiva. Usando el mismo razonamiento anterior se tiene
que el momento aplicado a la distancia d en función de la sección resistente y la resistencia unitaria a
la flexión del material del diente es:
t f
e b
F d s
6
2 ¢
=
(4.96)
De acuerdo a las proporciones del diente, según la (4.37) se
tiene:
p
c p
d
6
7
=
(4.97)
Multiplicando ambos miembros de la (4.96) por la expresión (4.91b) y reemplazando en la misma los
valores de e¢, b y d dadas por las expresiones (4.88b), (4.89) y (4.97) respectivamente, y operando, se
obtiene:
f
t
c S z
F R
p
s
3 51,85 =
(4.98)
Extrayendo la raíz cúbica de la (4.98) se obtiene el paso circunferencial en función de la fuerza que
actúa tangencialmente sobre el diente sobre la generatriz primitiva, de las dimensiones de este último y
de la resistencia del material con que está construido:
3 51,85 3,723
f
t
f
t
c S z
F R
S z
F R
p
s s
= =
(4.99)
En función del módulo M, la (4.99) resulta:
1,193
f
t
S z
F R
M
s
=
(4.100)
Fórmula de Lewis
La expresión propuesta por Wilfred Lewis en 1892 supone que un solo par de dientes resiste la fuerza
a transmitir, la cual está aplicada en una arista
del diente sobre la generatriz exterior del
engranaje siguiendo la línea de presión, y
dentro del diente se aplica sobre el eje de
simetría de éste en el extremo superior del
contorno de la viga en voladizo de igual
resistencia de forma parabólica, cuya base tiene
el mismo ancho que la base del diente, que es la
que resiste la fuerza aplicada. Introduce un factor de forma, denominado y o Y que tiene en cuenta la
geometría y proporciones del diente.
Se considera, según muestra la figura (Fig.4.34), la fuerza Fn aplicada en el extremo superior B de la
viga de igual resistencia de forma parabólica, siendo esta última tangente en V y E a la base del diente.
La fuerza Fn se puede descomponer en una fuerza radial Fr de compresión, que para este caso no es
tenida en cuenta y en una fuerza tangencial Ft aplicada sobre el diente a la distancia h, designándose
en este caso con dicha letra a la altura de la viga de igual resistencia; la fuerza Ft produce un momento
flector Mf, máximo en los puntos V o E, el cual estará dado por la expresión:
Mf = Ft h = W s
f (4.101)
Teniendo en cuenta la (4.83) que nos da la sección resistente W, la (4.101) se escribe:
t f
e b
F h s
6
2 ¢
=
(4.102)
Si se multiplica m. a m. La (4.102) por el paso circunferencial pc y se despeja Ft se obtiene:
f c
c
t b p
p h
e
F s
2
6
1 ¢
=
(4.103)
El factor de forma y de Lewis es:
c h p
e
y
6
2 ¢
=
(4.104)
Por lo tanto la (4.103) quedará:
Ft = yb s
f pc (4.105)
Para obtener en función del módulo M se dividen ambos miembros de la (4.105) por p y se obtiene el
factor de forma Y:
p
s
p
t f c
F yb p
=
(4.106)
Recordando que es, según la (4.4)
p
c p
M =
(4.4)
Y haciendo:
Y = yp (4.107)
Reemplazando en la (4.106) estos valores, según la (4.4) y la (4.107) se obtiene:
Ft = Y b s
f M (4.108)
Existen tablas, como la que se muestra a continuación, que dan el valor del factor de forma o de Lewis
“y” para distintos valores del ángulo de presión y del tipo de diente.
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
10
11
12
13
14
0,056
0,061
0,067
0,071
0,075
0,064
0,072
0,078
0,083
0,088
0,083
0,092
0,099
0,103
0,108
19
20
21
23
25
0,088
0,090
0,092
0,094
0,097
0,100
0,102
0,104
0,106
0,108
0,123
0,125
0,127
0,130
0,133
43
50
60
75
100
0,108
0,110
0,113
0,115
0,117
0,126
0,130
0,134
0,138
0,142
0,147
0,151
0,154
0,158
0,161
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
Nº de
dientes
14,5º
Altura
normal
20º
Altura
normal
20º
Diente
corto
15
16
17
18
0,078
0,081
0,084
0,086
0,092
0,094
0,096
0,098
0,111
0,115
0,117
0,120
27
30
34
38
0,099
0,101
0,104
0,106
0,111
0,114
0,118
0,122
0,136
0,139
0,142
0,145
150
300
Crem.
0,119
0,122
0,124
0,146
0,150
0,154
0,165
0,170
0,175
Fórmula de Lewis-Barth
Por las imperfecciones constructivas y de montajes de los engranajes, y debido a las fuerzas inerciales
de las masas que se encuentran en movimiento, existen fuerzas dinámicas que actúan sobre los dientes,
y si bien las mismas, a medida que aumenta la calidad constructiva y de montaje de los engranajes van
perdiendo importancia, siempre tienen influencia.
Barth considera estos esfuerzos dinámicos debido los impactos por aceleraciones bruscas,
deformaciones y separaciones de los engranajes y afecta la fórmula de Lewis por un factor que varía
en función de la velocidad, resultando Fd = Ft.f(V), por lo que la fuerza actuante estará dada, según la
velocidad de trabajo y la calidad de ejecución, por las siguientes expresiones:
- Para tallado comercial y V£ 610 m/min:
d t F
V
F
183
183 +
=
(4.109)
- Para tallado cuidadoso y 305m/min < V < 1220 m/min:
d t F
V
F
366
366 +
=
(4.110)
- Para tallado de precisión y V < 1220 m/min:
d t F
V
F
43
43 +
=
(4.111)
Fórmula de Buckingham
Buckingham también consideró las cargas dinámicas a las que estaban expuestos los engranajes,
realizando estudios sobre la influencia de los distintos factores a los que estaban expuestos, según el
tipo de servicio, error de tallado, deformación de los dientes bajo carga, las que originan fuerzas
inerciales y de impacto sobre los dientes con efectos similares a los de una carga variable superpuesta
a una carga constante. Para tener en cuenta estos factores, adiciona a la fuerza constante Ft resultante
de la potencia transmitida por el engranaje, un término adicional Fi, por lo que se obtiene la expresión
de la fuerza máxima total instantánea Fd que se ejerce sobre el diente:
( )
t
t
d t i t
V Cb F
V Cb F
F F F F
+ +
+
= + = +
0,113
0,113
(4.112)
En la (4.112), Fd es la fuerza total aplicada sobre el diente, Ft es la fuerza tangencial necesaria para
transmitir la potencia, Fi es la fuerza adicional variable que tiene en cuenta las fuerzas dinámicas y C
es un coeficiente dinámico que se obtiene en función del módulo, del error permisible de tallado y de
la forma del diente y su material de construcción, el cual se
encuentra tabulado.
Existen tablas que dan los máximos errores permitidos en el
tallado de engranajes en función de sus pasos diametrales o
módulo y según la clase de tallado del mismo de acuerdo a la velocidad de trabajo, las que se
clasifican como:
- Clase 1, engranajes industriales tallados con fresas de formas.
- Clase 2, engranajes tallados con gran cuidado.
- Clase 3, engranajes tallados y rectificados muy exactamente.
Para conocer el error permitido en función de la velocidad tangencial de la circunferencia primitiva se
han construido gráficos, uno de los cuales puede observarse en la figura (Fig.4.35). Conociendo el
error de tallado del diente, el cual se obtiene de tablas, se obtiene el valor de C, también de tablas,
como las que se transcriben a continuación:
Máximo error permitido, en cm, en engranajes
Paso diametral Módulo
Mm
Clase 1
industrial
Clase 2
exacto
Clase 3
preciso
1
2
3
4
5
6 y más finos
25,2
12,7
8,5
6,35
5,08
4,25
0,012192
0,010160
0,008128
0,006604
0,005588
0,005080
0,006096
0,005080
0,004064
0,003302
0,002794
0,002540
0,003048
0,002540
0,002032
0,001778
0,001524
0,001270
Valores del factor dinámico C (kg/cm2)
Materiales de los engranjes Forma Errores en los engranjes (cm)
del
diente
0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,01270
Fundición de hierro y
fundición de hierro..........
Fundición de hierro y
acero.................................
Acero y acero........
Fundición de hierro y
fundición de hierro.........
141/2º
141/2º
141/2º
20º, altura
total
71,4
98,2
142,9
74,1
142,9
196,5
285,8
148,2
285,8
392,9
571,5
296,5
428,6
589,4
857,3
444,7
571,5
785,8
1143,0
592,9
714,4
982,0
1428,8
741,2
Valores del factor dinámico C (kg/cm2) (Continuación)
Errores en Materiales de los los engranjes (cm)
engranjes
Forma
del
diente
0,00127 0,00254 0,00508 0,00762 0,01016 0,0127
Acero y acero...............
Fundición de hierro y
fundición de hierro..........
Fundición de hierro y
acero.................................
Acero y acero...................
20º, altura
total
20º corto
20º corto
20º corto
148,2
76,8
105,4
153,6
296,5
153,6
210,7
307,2
592,9
307,2
421,5
614,4
889,4
460,8
632,2
921,6
1185,9
614,4
843,0
1228,8
1482,4
768,0
1053,7
1536,0
En función del tiempo de trabajo, la fuerza tangencial Ft será afectada de un factor de servicio, el cual,
de acuerdo a la experiencia se encuentra en tablas como la siguiente:
Factores de servicio
Tipo de carga Tipo de servicio
8 a 10 horas por día 24 horas por día Intermitente 3 hs por día
Estable..................
Choque pequeño...
Choque mediano...
Choque severo......
1,00
0,80
0,65
0,55
0,80
0,65
0,55
0,50
1,25
1,00
0,80
0,65
Concentración de tensiones
Debido a que, en el entalle de la unión de la raíz del diente con la
llanta, existe concentración de tensiones, que dependen del
material del engranaje, del espesor del diente en la raíz, de la
posición de la fuerza sobre el diente, del radio de entalle o
acordamiento y del ángulo de presión, hace que la tensión real a
la cual está sometido el material sea mayor que la que resulta de
considerar las fuerzas estáticas y dinámicas.
Si se considera que la fuerza Fn que soporta el diente se
descompone, según se indica en la figura (Fig.4.36), en las
fuerzas Ft y Fr tangencial y radial respectivamente, aparecerán en
los puntos V y E tensiones debido tanto al momento flector que produce la fuerza Ft como a la
compresión que produce la fuerza Fr, dependiendo el valor de estas tensiones del momento de inercia I
de la sección e’b en la raíz del diente, de la compresión Fr/e’b y del momento flector Mf, las cuales
tendrán una forma similar a las que se muestran en la figura (Fig.4.37), correspondiendo
I
M f
s f =
(4.113)
para la tensión unitaria a la flexión debida al momento flector Ft.h, y
e b
Fr
c ¢
s =
(4.114)
la tensión unitaria a la compresión debida a la fuerza Fr.
Para contrarrestar los efectos de éstas tensiones, se incrementa la fuerza Fd dada por la (4.112), con un
coeficiente q, de tal forma que el esfuerzo unitario de trabajo a la flexión sd resulte menor que el
esfuerzo unitario a la fatiga alternativa sa:
a
c
d
d by p
F
s
q
s = £
(4.115)
El coeficiente q de concentración de tensiones está dado por las siguientes expresiones:
0,2 0,4
. 22 , 0
¢
¢
= +
h
e
r
e
q
para a = 14º30’ (4.116)
0,15 0,45
. 18 , 0
¢
¢
= +
h
e
r
e
q
para a = 20º (4.117)
Cálculo por desgaste de un engranaje
El desgaste en un engranaje depende del material del mismo, de la forma del perfil del diente, del
acabado superficial, de la lubricación y de la mayor o menor fuerza de roce entre las superficies de los
dientes. Se producen cavidades por el escoriado del material por falla por fatiga y la acumulación de
material debido al material blando arrastrado. Por lo tanto el esfuerzo límite por desgaste está
determinado por el límite de fatiga del material, por la forma del perfil del diente y por la dureza
relativa de las superficies en contacto. Cuando dos ruedas que engranan son de materiales diferentes,
el más duro de ellos producirá un endurecimiento mecánico en el más blando, incrementando su límite
de fatiga, que para los aceros parece aumentar en proporción directa con la dureza Brinell. El piñón
debe ser siempre más duro, para permitir el endurecimiento mecánico de la rueda, para preservar el
perfil de evolvente, para permitir el mayor desgaste abrasivo en el piñón, y para disminuir la
posibilidad de engranamiento.
Buckingham expresa el esfuerzo límite al desgaste por la ecuación:
+
+
=
p r p r
p fs r
w z z E E
d b sen z
F
2 1 1
1,4
s j
(4.118)
superficial, zp número de dientes del piñón, zr número de dientes de la rueda, Ep módulo de elasticidad
del material del piñón y Er módulo de elasticidad del material de la rueda.
En la tabla siguiente se dan valores de fatiga para algunos materiales de engranajes.
Límites de fatiga para materiales de engranajes
Materiales Número de
dureza
Brinell
Límite de
fatiga
alternativa
sfa (
kg/cm2)
Límite de
fatiga
superficial
sf
s (kg/cm2)
Fundición gris de hierro……………………..................
Semiacero........................................................................
Bronce fosforoso.............................................................
160
200
100
840
1260
1680
6300
6300
6300
Acero................................................................................
Para acero: .....................................................................
sfa =
17,5 ×
Número Brinell .........................................
Para número Brinell 400 ...............................................
Y para mayores usar:.......................................................
sfa =
7000 ........................................................................
150
200
240
250
280
300
320
350
2520
3500
4200
4340
4900
5250
5600
5950
3500
4900
6020
6300
7140
7700
8260
9100
sf
s = 28 × Número Brinell...............................................
¾ 700 ............................................................
360
400
450
500
550
600
6300
7000
9380
10500
11900
13300
14700
16100
Para evitar el pronto desgaste del material del engranaje, sin
disminuir su elasticidad y tenacidad, a los efectos de que no
presenten fragilidad cuando trabajan y no sufran desgastes
prematuros, se realiza un tratamiento de endurecimiento superficial
de los mismos, ya sea mediante el cementado u otro método, logrando una profundidad de penetración
adecuado con lo que se obtiene una superficie de elevada resistencia al desgaste sin variar las otras
propiedades del material. En la figura (Fig.4.38) se observa la profundidad pp de penetración del
cementado.
Engranajes helicoidales. Características generales
Las ruedas cilíndricas con dientes helicoidales, las que se muestran en la figura (Fig.4.39a), tienen los
dientes formando una hélice inclinada un ánguloa más o menos pronunciado, alrededor del eje de
giro, siendo el perfil de los mismos originados por una curva evolvente helicoidal. En el engrane
helicoidal, el contacto de los dientes es gradual, efectuándose en primer lugar en un punto, haciéndolo
con los otros a medida que gira, hasta cubrir una diagonal sobre todo el ancho del diente. Este hecho
reduce el ruido y las cargas dinámicas, lo que representa una mejora en el trabajo de engrane, ya que
de este modo la presión transmitida resulta aplicada de manera continua y progresiva, permitiendo la
transmisión de mayores potencias puesto que aumentan la fuerza y la velocidad transmitidas. Además
es posible obtener piñones de menor número de dientes que en las ruedas de dientes rectos, lográndose
una relación de transmisión más elevada.
Tienen el inconveniente de que la fuerza tangencial que
transmiten se descompone en dos direcciones, una normal y
otra axial, por lo tanto se produce mayores pérdidas por
rozamiento en los cojinetes, sufriendo un desgaste más rápido
en el flanco de los dientes, pues el contacto y resbalamiento es
más prolongado. Este inconveniente se subsana adoptando
doble fila de dientes y aún tres filas con hélices inclinadas el mismo ángulo, pero dispuestas en sentido
contrario, constituyendo los engranajes doble helicoidal o chevron, según se mostrara en la figura
(Fig.4.8) y se muestran nuevamente en las figuras (Fig.4.39b) y (Fig.4.39c) respectivamente . De esta
manera los empujes axiales se anulan entre sí. El valor del ángulo a de inclinación de los dientes
respecto del plano frontal de las ruedas toma valores desde 10º variando el mismo según el uso del
engranaje. Para ruedas que trabajan a gran velocidad es a = 45º.
Los engranajes helicoidales se utilizan para altas velocidades, considerándose como tales cuando la
velocidad tangencial supera los 25 m/s o el piñón gira a más de 3600 rpm, para la transmisión de
grandes potencias. Además se utilizan estos tipos de engranajes cuando se necesita un funcionamiento
silencioso.
Clasificación
Como ya se indicara en las figuras (Fig.4.7), (Fig.4.8), (Fig.4.12) y (Fig.4.13), existen tres clases de
engranajes cilíndricos helicoidales, los cuales se detallan nuevamente en la figura (Fig.4.40),
engranajes a ejes paralelos (Fig.4.40a), a ejes oblicuos (Fig.4.40b) y a ejes perpendiculares
(Fig.4.40c). Los dos últimos se denominan a ejes cruzados, y solo se utilizan para la transmisión de
pequeños esfuerzos.
Engranajes cilíndricos helicoidales a ejes paralelos. Empuje
axial
Estos son los engranajes helicoidales más comunes. En la figura
(Fig.4.41) se observa la fuerza F que actúa sobre el plano de la
circunferencia primitiva en el centro de la cara del diente, siendo
su línea de acción la línea de presión normal al diente inclinada el
ángulo normal fn. La proyección de F sobre el plano de rotación
ABB’A’ da el ángulo de presión f transversal. La proyección de F sobre el plano ACC’A’ tangente al
cilindro primitivo está inclinada el ángulo a y es la componente Fn de dicha fuerza sobre el mismo.
La relación que existe entre fn y f se la puede obtener del análisis de la figura de la siguiente forma:
CA
AB
CA
CD
tg n ¢
=
¢
f =
(4.119)
Pero es:
AB = tgf.AA’ (4.120)
Y
cosa
AA
CA
¢
¢ =
(4.121)
Reemplazando en la (4.119) los valores de AB y CA’ dadas por las (4.120) y (4.121) respectivamente
se obtiene:
tgfn = tgf cosa (4.122)
La fuerza F, en el funcionamiento produce una fuerza de rozamiento sobre el diente, cuyo valor está
dado por la expresión:
FRoz = Fμ1 (4.123)
Las componentes de la fuerza F son las fuerzas Ft tangencial, Fr radial
y Fa axial. Del análisis de la figura (Fig.4.41), los valores de estas tres
últimas fuerzas en función de la fuerza F resultan:
Ft = Fcosfn cosa (4.124)
Fr = Fsenfn (4.125)
Fa = Fcosfn sena (4.126)
En los engranajes helicoidales es importante conocer el valor del empuje axial para calcular o
seleccionar el cojinete axial. Como lo que generalmente se conoce es el valor de la fuerza tangencial Ft
a transmitir deducida de la potencia necesaria demandada, el empuje axial se obtiene a partir del valor
de la fuerza periférica tangencial Ft, de las dimensiones del engranaje y de la velocidad angular. En la
figura (Fig.4.42) se observan las fuerzas que actúan sobre el diente, en el plano tangencial ACC’A’
tangente al cilindro primitivo y sobre el plano de rotación de la circunferencia primitiva siendo Fn la
fuerza normal, Fa la fuerza axial que es resistida por los órganos de sujeción del engranaje, y Ft la
fuerza tangencial que es la que le imprime el movimiento de rotación, siendo sus expresiones en
Newton (N) en función de la potencia, según lo visto, para N en vatios, R en m y n en rpm:
N = Ft .v = 60
F 2 Rn t p
(4.127)
De la (4.127) se obtiene:
Rn
N
Rn
N
v
N
Ft 9,55
2
60
= = =
p (4.128)
Resultando, de la figura (Fig.4.42):
a cosa
1
9,55
cos Rn
F N
F t
n = =
(4.129) Y
además:
a a a
a
a tg
Rn
N
sen F tg
F
F F sen t
t
a n 9,55
cos
= = = =
(4.130)
O también, en kg, para N en CV, R en cm y n en rpm:
75
F .v
N t =
(4.131)
Por ser:
60
2 Rn
v
p
=
(4.132)
La (4.131) resulta:
71620
F .R.n
N t =
(4.133)
Resultando la fuerza tangencial Ft:
Rn
N
Ft
71620
=
(4.134)
Y las fuerzas normal Fn y axial Fa:
cosa
71620 1
Rn
N
Fn =
(4.135)
tga
Rn
N
Fa
71620
=
(4.136)
Pasos de la hélice y del diente
Si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva de una rueda dentada helicoidal se tiene, según se
indica en la figura (Fig.4.43):
a) Paso circular de la hélice: es el desarrollo normal de la circunferencia primitiva, por lo tanto si el
diámetro primitivo es D el paso circunferencial es.
p D c ¢ =p (4.137)
b) Paso axial de la hélice: es la altura que alcanza la hélice paralelamente al eje de la rueda:
a
b a
tg
p
p p tg p ctg c
a c c
¢
¢ = ¢ = ¢ =
(4.138)
c) Paso normal de la hélice: es la altura del
triángulo formado por el desarrollo de la
hélice y de la circunferencia primitiva, normal
a la hélice:
cosa n c p¢ = p¢ (4.139)
d) Paso circunferencial del diente: si se
considera una rueda formada por z dientes y
diámetro primitivo D, el paso circunferencial
pc del diente estará medido, según se indica en
la figura (Fig.4.44), sobre el diámetro
primitivo y valdrá:
z
D
pc
p
=
(4.140)
e) Paso normal del diente: si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva y sobre ella se trazan
tantas divisiones como número de dientes tiene la rueda, cada generatriz helicoidal correspondiente al
eje de un diente, estará separada de la anterior una distancia pn denominada paso normal del diente,
estando dado en función del paso circunferencial pc, según se puede observar en la figura (Fig.4.44),
por la expresión:
pn = pc cos a =
a
p
cos
z
D
(4.141)
f) Paso axial del diente: la distancia entre dos dientes
consecutivos, tomada sobre el eje de la rueda constituye el
paso axial pa del diente, el cual en función del paso
circunferencial pc, es igual, de acuerdo a la figura (Fig.4.44)
a:
pa = pc ctg a = a
p a
z sen
D cos
(4.142)
Módulos
En las ruedas helicoidales, al igual que en las de dientes rectos, es conveniente operar con el módulo.
Para este tipo de engranajes existen dos módulos, el correspondiente al paso circunferencial pc y al
paso normal pn, designados de igual forma que éstos:
a) Módulo circunferencial
z
D
z
p D
M c
c = = =
p
p
p (4.143)
b) Módulo normal
a a a
p p
cos cos cos
z
D
M
p p
M c
n c
n = = = =
(4.144)
Dimensiones del diente y de la rueda
Para dimensionar los dientes de un engranaje helicoidal se debe conocer la resistencia que el mismo
debe tener para soportar las solicitaciones a las cuales estará expuesto. El cálculo de esta resistencia se
hace empleando las fórmulas para engranajes cilíndricos de dientes rectos ya vistas, pero teniendo en
cuenta que el número de dientes que se debe tomar no es el del número real que tendrá el engranaje
helicoidal, si no el número virtual o formativo zv, el cual se define como el número de dientes que
tendría un cilindro que tuviera un radio primitivo igual al radio de curvatura en un punto localizado en
el extremo del eje menor de la elipse que se obtiene al tomar una sección del engranaje en el plano
normal, que del análisis de la figura (Fig.4.45) resulta:
El diámetro primitivo del engranaje helicoidal es D. Si se considera un plano A-A normal al eje del
diente que corta a la rueda, la sección que se obtiene es una elipse, cuyo diámetro menor es D según
muestra la figura (Fig.4.45) en el corte A-A. De la geometría analítica se conoce que el radio de
curvatura r en el extremo del semieje menor de la elipse, indicado por el punto B, vale:
a 2cos 2
D
r =
(4.145)
La forma del diente situado en B será la de un diente engendrado por una superficie de un cilindro
primitivo de radio r y el número de dientes de esta superficie se define como el número virtual o
formativo de dientes zv, resultando:
a
p p
cos 2
2
n n
v
p
D
p
r
z = =
(4.146)
De la (4.133) se tiene que es:
a
p
cos
z
p
D
n
=
(4.147)
Reemplazando este valor dado por la (4.147) en la (4.146) se tiene finalmente:
a cos3
z
zv =
(4.148)
Para el cálculo la resistencia mecánica de los dientes de un engranaje helicoidal,
se utiliza el factor y para el número virtual zv de dientes.
La altura de los dientes es igual a la de los engranajes cilíndricos de dientes
rectos. Las dimensiones del diente, como se acaba de ver, se realizan de acuerdo
con el módulo normal Mn, es decir perpendicular a su dirección.
Ancho del diente: es igual a la diagonal A’B’ que cruza el ancho b del engranaje
según muestra la figura (Fig.4.46), formando el ángulo a con el eje de giro de la
rueda, estando ambos relacionados por la expresión:
cosa cosa
lado A C b
A B =
¢ ¢
¢ ¢ =
(4.149)
Diámetro primitivo D: en la figura (Fig.4.47) se indica el
diámetro primitivo D, que de acuerdo a la (4.143) estará dado por
la expresión:
p cosa
n
c
c M
zM z
p z
D = = =
(150)
Diámetro exterior De: es igual al diámetro primitivo más dos veces la altura de la cabeza del diente.
Si la altura de la cabeza del diente se toma igual a Mn, será:
n n
n
e n c n M
z
M
M
z M zM M D D
= + = + = + = + 2
cos
2
cos
2 2
a a (4.151)
De la (4.151) se puede deducir que el módulo normal Mn vale:
2
cos
+
=
a
z
D
M e
n
(4.152)
Ángulo a de la hélice sobre el cilindro primitivo que da la inclinación del diente: el valor de este
ángulo se puede obtener a partir de las expresiones ya vistas, como por ejemplo la (4.141) y la (4.144),
de donde resulta:
c
n
c
n
M
M
p
p
cosa = =
(4.153)
De la (4.153) se obtiene:
c
n
c
n
M
M
arc
p
p
a = arc cos = cos
(4.154)
Para el ángulo a se toman por lo general los valores 10º, 15º, 20º, 25º, 26º34’, 30º, 40º, 45º, 50º y
63º26’.
Par de ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos
La figura (Fig.4.48) muestra dos ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos, siendo sus diámetros
primitivos d y D para el engranaje menor y mayor respectivamente, engranando entre si ambos
engranajes, presentando sus dientes igual
ángulo a de inclinación pero en sentido
inverso.
El paso circunferencial del diente de la
rueda menor es:
d
cd z
d
p
p
=
(4.155)
y por lo tanto su módulo:
d
cd z
d
M =
(4.156)
Para la rueda mayor el paso circunferencial del diente es:
D
cD z
D
p
p
=
(4.157)
y su módulo:
D
cD z
D
M =
(4.158)
Ambos pasos circunferenciales, y por lo tanto los módulos, son iguales, es decir:
a) pcd = pcD = pc b) Mcd = McD = Mc (4.159)
Para ruedas con igual número de dientes (zd = zD), el paso de la hélice en el cilindro primitivo es igual
para ambos engranajes, en tanto que para ruedas con distintos números de dientes (zd ¹ zD) los pasos
de las hélices son distintos.
Distancia entre centros de ejes: la distancia L entre los centros de los ejes paralelos de dos ruedas
helicoidales engranadas entre si, según muestra la figura (Fig.4.48) está dado por la siguiente
expresión:
2
d D
L
+
=
= r+R (4.160)
De las expresiones (4.140), (4.143) y (4.159) se obtiene, tanto para la rueda menor como la mayor:
a) p
c
d
p
d = z
= zd Mc y b) p
c
D
p
D = z
= zD Mc (4.161)
Y de las expresiones (4.141) y (4.144) se obtiene:
a) cosa
n
c
p
p =
y b) cosa
n
c
M
M =
(4.162)
Por lo tanto la (4.160) puede escribirse, reemplazando en ella los valores de d y D dados por la (4.161)
y teniendo en cuenta además las (4.162):
( ) ( ) ( ) ( d D )
n
d D
c
d D
n
d D
c z z
M
z z
M
z z
p
z z
p
L = + = + = + = +
2p 2p cosa 2 2cosa (4.163)
La relación de transmisión se obtiene de igual forma que para los engranajes rectos.
Engranajes cónicos con dientes rectos y ejes a 90º
Los engranajes cónicos, los cuales se han mostrado en las figuras (4.9) y (4.10), presentan la
particularidad de que la prolongación de sus ejes se cortan entre sí, pudiendo
hacerlo, según ya se mostrara en la figura (Fig.4.11), con un ángulo a mayor,
menor o igual a 90º. Estos engranajes reemplazan a los conos de fricción que
transmiten el movimiento de rotación alrededor de sus ejes a otros conos por
fricción, los cuales se muestran en la figura (Fig.4.49), constituyendo estos
últimos los conos primitivos de los engranajes cónicos, sobre los cuales se realiza el contacto entre dos
engranajes cónicos que engranan entre sí. Los dientes de estos engranajes pueden ser rectos o
helicoidales, en este último caso en arco o en espiral. Se analizarán únicamente lo engranajes cónicos
de dientes rectos, debiendo el estudiante recurrir a bibliografía específica en caso de que sea de interés
su conocimiento.
Para lo engranajes cónicos de dientes rectos, sus
dientes se disponen siguiendo las generatrices
de los conos primitivos. La parte del diente que
se halla fuera del cono primitivo se denomina
cabeza y la que está en su interior raíz del
mismo. Al engranaje de menor diámetro
también se lo denomina piñón.
En la figura (Fig.4.50) se muestran dos engranajes cónicos que están engranando entre sí, indicándose
sus distintas partes, las cuales se describen a continuación.
Las circunferencias primitivas son las circunferencias mayores de los conos primitivos, siendo sus
diámetros primitivos DR y DP . El módulo y el paso circunferencial se determinan por el número de
dientes en relación con el diámetro primitivo. Las generatrices de los conos primitivos y las de cabezas
y raíces de los dientes convergen al mismo punto O. Los dientes disminuyen progresivamente desde su
parte exterior, lugar donde tienen su origen todas las medidas referidas al diente y a los diámetros
principales, hacia el centro donde convergen los ejes y las líneas de los flancos del diente prolongadas.
Además de las denominaciones conocidas de los parámetros de los engranajes rectos y que también se
emplean en los cónicos, éstos debido a la conicidad que tienen y a la serie de ángulos que aparecen por
este motivo, presentan otros con las siguientes denominaciones: ángulo primitivo gR de la rueda
mayor; ángulo primitivo gP de la rueda menor; ángulo exterior bR o de torno de la rueda mayor; ángulo
exterior bP o de torno de la rueda menor; ángulo de fondo fR de la rueda mayor; ángulo de fondo fP de
la rueda menor; ángulo d de cabeza del diente; ángulo e de raíz del diente; longitud b del diente;
longitud L de la generatriz tomada desde el cono primitivo; distancia HR y HP desde la circunferencia
mayor de cabeza al punto de convergencia de los ejes de la rueda mayor y menor respectivamente,
utilizada para comprobación; ángulo complementario yR de la rueda mayor; ángulo complementario
yP de la rueda menor.
Para obtener los distintos parámetros de los engranajes cónicos se utilizan similares expresiones a las
ya vistas para los engranajes cilíndricos, teniéndose en cuenta la influencia de los ángulos que
determinan las dimensiones del diente. Así para un módulo M se tendrá:
- Paso circunferencial p = Mp (4.164)
- Altura del diente h = 2,16M (4.165)
- Altura de cabeza a = M (4.166)
- Altura de raíz d = 1,16M (4.167)
- Espesor del diente e = 1,57M (4.168)
La longitud L de la generatriz del cono primitivo es la misma tanto para la rueda mayor como para la
menor (piñón) ya que sus diámetros primitivos, sea cualquiera la relación en que estén al engranar, se
encuentran a la misma distancia del centro donde convergen las prolongaciones de los ejes y los
flancos de los dientes.
Se pueden escribir las distintas expresiones, tanto para la rueda como para el piñón, que relacionan los
parámetros de los engranajes unos en función de los otros, como son módulo, diámetros primitivos,
números de dientes, etc.
Engranaje mayor
- Diámetro exterior: DER = (2 sen gP + zR )M = DR + 2M cos gR (4.169)
- Módulo R
R
z
D
M =
(4.170)
O también, teniendo en cuenta la (4.169):
( P ) R
ER
sen z
D
M
+
=
2 g (4.171)
- Ángulo primitivo: tg gR = P
R
P
R
z
z
D
D
=
(4.172)
También por diferencia se obtiene: gR = 90º- gP (4.173)
- Ángulo de cabeza del diente: R
R
z
sen
L
M
tg
g
d
2
= =
(4.174)
- Ángulo exterior: bR = gR + d (4.175)
- Ángulo de fondo: fR = gR + e (4.176)
- Ángulo de raíz:
e tgd
L
M
tg 1,16
1,16
= =
(4.177)
- Ángulo complementario: yR = 90º - gR (4.178)
- Longitud de la generatriz del cono primitivo:
M
sen
z
sen
D
L
R
R
R
R
2 g 2 g
= =
(4.179)
- Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:
R
P
R Msen
D
H = − g
2 (4.180)
Engranaje menor o piñón
- Diámetro exterior: DEP = (2 sen gR + zP )M = DP + 2M cos gP (4.181)
- Módulo P
P
z
D
M =
(4.182)
O también, teniendo en cuenta la (4.181):
( ) R P
EP
sen z
D
M
+
=
2 g (4.182)
- Ángulo primitivo: tg gP = R
P
R
P
z
z
D
D
=
(4.183)
También por diferencia se obtiene: gP = 90º- gR (4.184)
- Ángulo exterior: bP = gP + d (4.185)
- Ángulo de fondo: fP = gP - e (4.186)
- Ángulo complementario: yP = 90º - gP (4.187)
- Longitud de la generatriz del cono primitivo:
M
sen
z
sen
D
L
P
P
P
P
2 g 2 g
= =
(4.188)
- Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo:
P
R
P Msen
D
H = − g
2 (4.189)
La longitud b del diente debe ser igual o menor que 1/3L o de 6M a 10M.
Dimensiones del diente
En todos los cálculos de resistencia de los engranajes cónicos se utiliza el número virtual de dientes zv,
siendo éste el número de dientes que tendría un engranaje cilíndrico de dientes rectos cuyo radio
primitivo es igual al radio r del cono complementario, el cual se indica en la figura (Fig.4.50). La
relación que liga al número real de dientes z del engranaje cónico con el número virtual de dientes zv
del engranaje cilíndrico está dada por la expresión:
cosg
z
zv =
(4.190)
Siendo en la (4.190) g el ángulo del cono primitivo.
Para dimensionar el diente se debe conocer la resistencia que debe presentar cuando es solicitado por
la fuerza actuante Ft sobre él. Si bien se puede utilizar la expresión (4.105) dada por Lewis, debido a
que el tamaño del diente al igual que la fuerza que actúa sobre el flanco varían a lo largo del diente, se
la debe modificar para engranajes cónicos.
La figura (Fig.4.51) representa la parte superior del diente y un elemento de longitud diferencial dl del
mismo a la distancia l del vértice O del cono primitivo, sobre el cual se considera que actúa la fuerza
dF de intensidad constante, siendo pl el paso circunferencial del engranaje a esta distancia.
La expresión de Lewis para este elemento del diente de longitud dl sobre el cual actúa la fuerza dF y
cuyo paso circunferencial es pl, para una tensión
st
de trabajo, se puede escribir:
dF = s
t pl y dl (4.191)
El momento torsor respecto del eje del engranaje es:
dF.r = s
t pl y dl r (4.192)
El espesor del diente, el paso circunferencial y el radio r en cualquier punto, son proporcionales a la
distancia desde el vértice del cono primitivo, es decir:
L
Rl
r
L
R
l
r
= =
(4.193)
y
L
p l
p
L
p
l
p c
l
l c = =
(4.194)
Reemplazando en la (4.192) la expresión de r y de pl dadas por la (4.193) y (4.194) respectivamente se
obtiene:
dl
L
l
y dl R p y
L
p l
L
Rl
dF t c
c
t
2
= s = s
(4.195)
La expresión (4.195) se puede integrar para r variando de 0 a R y l variando entre L y L – b,
obteniéndose:
= = = − + − 2
2
2
2 3
. 1
L
b
L
b
l dl R p by
L
R p y
M F R t c
L
L b
t c
t t s
s
(4.196)
Despejando de la (4.196) la fuerza Ft se obtiene:
= − + 2
2
3
1
L
b
L
b
F b p y t r c s
(4.197)
Como el valor de b como máximo alcanzan la longitud de 1/3L, el término b2/3L2 se hace igual a 1/27
que se puede despreciar sin introducir un error apreciable, por lo que la (4.197) se puede escribir:
−
=
−
=
L
L b
bY
L
L b
F b p y t t c t s s
(4.198)
Siendo pc el paso circunferencial en la extremidad mayor, M el módulo en a extremidad mayor, y e Y
factor de forma correspondiente al número virtual zv de dientes, según se utilice para el cálculo pc o M
respectivamente y Ft la fuerza tangencial equivalente en la extremidad mayor
La generatriz L del cono primitivo, siendo RR el radio primitivo de la rueda mayor y RP el radio
primitivo de la rueda menor (piñón), vale:
2 2
R P L = R + R (4.199)
La tensión de trabajo s
t se utiliza teniendo en cuenta la tensión admisible sadm afectada de los factores
de velocidad jv y de servicio js:
st
= jv. js sadm (4.200)
El factor de velocidad jv es el dado por los factores que afectan las fuerzas del segundo miembro de
las expresiones ya vistas (4.109), (4.110) y (4.111) y el factor de servicio js se lo obtiene de la tabla
también ya vista en engranajes cilíndricos de dientes rectos.
La velocidad que se utiliza para los cálculos y dimensionamiento es la velocidad de la extremidad
mayor y los factores de forma y e Y se los obtiene de tablas de bibliografía especializada. Las cargas
dinámicas y de desgaste se las obtienen con las mismas expresiones usadas para los engranajes
cilíndricos pero tomando el número virtual zv de dientes y la velocidad de la circunferencia primitiva
de la extremidad mayor, y la fuerza Ft como el esfuerzo tangencial equivalente a esta velocidad.
Tornillo sinfin y rueda helicoidal
Características: Este mecanismo sirve para transmitir el movimiento entre ejes que forman en el
espacio un ángulo cualquiera. El caso más común es cuando los ejes se cruzan en ángulo recto.
Es utilizado cuando se exige una gran reducción de velocidad en un espacio limitado y una marcha
silenciosa. En la figura (Fig.4.14) se han mostrado los distintos casos que se pueden presentar, según
sea el tipo del perfil de los dientes, tanto de la rueda como el del tornillo sinfín, los que podían ser: a)
tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil cilíndrico, b) tornillo sinfín de perfil cilíndrico y
rueda helicoidal perfil globoide (axoide), siendo éste el de uso más generalizado y c) tornillo sinfín y
rueda helicoidal ambos de perfil globoide.
En la figura (4.52) se pueden observar los distintos elementos que conforman el par tornillo sinfín –
rueda helicoidal, siendo éstos, según se indica en la figura, los siguientes:
- L: longitud del tornillo sinfín.
- pt: paso axial entre filetes del
tornillo.
- a: altura de cabeza (adendo) del
filete.
- d: altura de raíz (dedendo) del
filete.
- h: altura total del filete.
- a: ángulo de avance del
tornillo.
- di: diámetro interior o de raíz del tornillo.
- dp: diámetro primitivo del tornillo.
- de: diámetro exterior del tornillo.
- pcr: paso circunferencial de la rueda. - Di:
diámetro interior de la rueda.
- Dp: diámetro primitivo de la rueda. - Dt:
diámetro de garganta de la rueda.
- De: diámetro exterior de la rueda. - b : ancho
axial de la rueda.
- b : ángulo de la cara de la rueda.
Relación de transmisión
Para un tornillo de un filete, cuando éste da una vuelta
completa, un punto apoyado sobre el filete habrá avanzado
paralelamente al eje del tornillo una distancia igual al paso axial
Ph de la hélice, la que se muestra en la figura (Fig.4.53b) y que
resulta igual al paso axial pt del filete, que se muestra en la
figura (Fig.4.53a) siendo este último la distancia que existe
entre dos puntos consecutivos que ocupan igual posición en el filete, tomada en forma paralela al eje
del tornillo, lo que se pude observar en la figura (Fig.4.53a). El paso axial pt del tornillo sin fin es igual
al paso circunferencial pcR de la rueda que engrana con el tornillo. Para este caso, cuando el tornillo da
una vuelta completa, la rueda se habrá desplazado un ángulo central correspondiente a un diente. Si el
tornillo fuera de dos filetes, al dar una vuelta completa hará avanzar dos dientes a la rueda, si tuviera
tres filetes, la rueda avanzará tres dientes y así sucesivamente. Es decir que para zt filetes por paso de
filete, el paso axial de la hélice, o avance del tornillo será:
Ph = zt.pt = p dp tga (4.201)
Si se tiene una rueda de zR dientes, cuyo radio primitivo es R en m, que gira a nR vueltas por minuto, su
velocidad tangencial vR en m/s será:
60
2 R
R
R n
v
p
=
(4.202)
Esta rueda engrana con un tornillo sinfín de zt filetes, cuyo paso axial es pt en m, que gira a nt vueltas
por minuto con una velocidad tangencial vt en m/s igual a:
60
t t t
t
z p n
v =
(4.203)
Resultando:
vR = vt (4.204)
La relación de transmisión i está dada por la expresión:
( )
( sin )
z número de dientes de la rueda
z número de filetes del fín
n
n
i
R
t
t
R = =
(4.205)
Si se desarrolla el cilindro primitivo del tornillo según se muestra en la figura (Fig.4.53c), se obtiene
un triángulo rectángulo formado por el desarrollo del diámetro primitivo, el desarrollo de la hélice y el
paso de la hélice. Además la normal CD a AB es el paso normal Pn de la hélice del tornillo que se mide
perpendicular al desarrollo de la hélice. Del análisis de la figura se obtiene:
- Módulo axial: p
h
a
P
M =
(4.206)
- Paso normal: Pn = Ph cos a = p.dp sen a (4.207)
- Módulo normal:
a
p
d sen
P
M p
n
n = =
(4.208)
- Longitud de la hélice: a a
p
sen
d P
AB p h = =
cos (4.209)
Un tornillo sinfín puede tener más de un filete. Como se vió, para el paso axial pt y el número de
filetes zt, la (4.201) daba el paso axial de la hélice, resultando que el paso normal es:
Pn = zt.pn (4.210)
En la figura (Fig.4.54) se representa un tornillo sinfín de dos filetes, donde el paso axial de la hélice es
igual a dos veces el paso axial entre filetes:
zt = 2 (4.211)
Ph = 2 zt (4.212)
En la figura (Fig.4.55) se
representa un tornillo sinfín de
cuatro filetes o, como también
se lo denomina comúnmente,
de cuatro entradas . En el se
observa el paso axial Ph de la
hélice y el paso axial entre
filetes, siendo:
Ph = 4pt (4.213)
Fórmulas de cálculos de los elementos del tornillo sinfín y rueda
Para posibilitar el correcto engrane entre el tornillo sinfín y la rueda, sus parámetros y detalles
constructivos deben poseer para cada uno determinadas características, como además éstos deben
guardar ciertas relaciones entre ambos, las cuales se indican a continuación:
- Diámetro primitivo de la rueda: Dp = zR.Mc (4.214)
- Paso circunferencial pcR de la rueda:
t
R
p
cR p
z
D
p = =
p
(4.215)
- Paso de la hélice de la rueda: a
p
tg
D
P p
hR
.
=
(4.216)
- Diámetro de garganta de la rueda: Dt = Dp + 2Mn (4.217)
- Diámetro exterior de la rueda:
e t D r r D +
= −
2
cos
2
b
(4.218)
- Distancia entre ejes de rueda y tornillo sinfín:
( ) p p L = D + d
2
1
(4.219)
- Diámetro primitivo del tornillo sinfín: dp = de – 2Mn (4.220)
- Módulo circunferencial de la rueda: cosa
n
R
p
c
M
z
D
M = =
(4.221)
Resistencia de los dientes: Debido a que los dientes de la rueda son más débiles por construcción que
los filetes del tornillo sinfín, la resistencia del conjunto se basa en el cálculo de los dientes de la rueda,
adecuándose la expresión de Lewis en forma similar a la vista anteriormente para engranajes
helicoidales. Pero como existe una línea de contacto entre los flancos de los filetes del tornillo sinfín y
de los dientes de la rueda, hay una mayor fuerza de rozamiento que se debe vencer, por lo que las
expresiones de la fuerza normal F que actúa, haciendo referencia a la figura (Fig.4.41) ya vista, y
considerando el coeficiente de rozamiento μ entre las superficies en contacto toma la forma siguiente
en función de sus componentes axiales y normales:
- Fuerza de entrada en el tornillo sinfín:
Fe = F(cos jn sena + μ cos a) = tc
e
v
N
(4.222)
Donde es Ne la potencia de entrada y vtc la velocidad circunferencial del tornillo sinfín.
- Fuerza de salida Fs que actúa sobre la rueda dentada es:
Fs = F(cos jn cos a - μ sen a) = R
s
v
N
(4.223)
Siendo Ns la potencia de salida y vR la velocidad circunferencial de la rueda dentada.
Carga de desgaste Fw
La carga de desgaste se puede obtener por la expresión propuesta por Buckingham:
Fw = Dp.bR.K’ (4.224)
Donde bR y Dp son el ancho de la cara y el diámetro primitivo de la rueda respectivamente, y K’ una
constante, y que depende del tipo de material utilizado en la rueda y del ángulo de avance del tornillo
sinfín; esta constante se encuentra tabulada para distintos tipos de materiales, como la que se muestra a
continuación, para Fw en kg, DR y bR en cm y tornillo sinfín de acero endurecido:
Material de la rueda K’
Hierro fundido o semiacero
Bronce al manganeso
Bronce al fósforo
Baquelita u otro material similar
3,5
5,6
7,0
8,8
Rendimiento
El rendimiento h del mecanismo tornillo sinfín-rueda dentada se lo obtiene considerando la potencia
de entrada y la potencia de salida:
( )
( n ) tc
n R
e tc
s R
sen v
sen v
N v
N v
j a μ a
j a μ a
h
cos cos
cos cos
+
−
= =
(4.225)
Teniendo en cuenta que la velocidad circunferencial vtc del tornillo sinfín está dada por la expresión:
60
p t
tc
d n
v
p
=
(4.226)
Y que además es el paso circunferencial pcR de la rueda igual al paso axial pt del tornillo sinfín:
pcR = pt (4.227)
Resultando por lo tanto, por la (4.204):
60
.
60
p R t t t
R
D n z p n
v = =
p
(4.228)
Del cociente entre la (4.228) y la (4.226) se obtiene:
a
a
a
p . p cos
. sen
tg
d
P
d
z p
v
v
p
h
p
t t
tc
R = = = =
(4.229)
Reemplazando en la (4.225) el valor de vR/vtc dado por el último miembro de la (4.229), la expresión
que da el rendimiento es:
( )
( j a μ a ) a
j a μ a a
h
cos cos cos
cos cos
+
−
=
sen
sen sen
n
n
(4.230)
Operando y sustituyendo por sus funciones trigonométricas homónimas la (4.229) resulta finalmente:
j μ a
j μ a
h
ctg
tg
n
n
+
−
=
cos
cos
(4.231)
El coeficiente de rozamiento μ depende de la velocidad de deslizamiento vs entre el tornillo sinfín y la
rueda, la cual se obtiene mediante la siguiente expresión:
cosa
tc
s
v
v =
(4.232)
Existen tablas que dan el valor del coeficiente de rozamiento μ en función de la velocidad de
deslizamiento.
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Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía
TÍTULO AUTOR EDITORIAL
- Manual de Engranajes Darle W.Dudley, C.E.C.S.A.
- Manual del Constructor de Máquinas H. Dubbel Labor
- Elementos de Máquinas Dr. Ing. O. Fratschner Gustavo Gili
- Proyecto de Elementos de Máquinas M. F. Spotts Reverté
- Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili
- Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina
- Manual de Engranajes Darle W. Dudley C.E.C.S.A.
- Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill
- Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha
- Diseño de Elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas
- Diseño en Ingeniería Mecánica J. Shigley McGraw-Hill
- Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo
- Mecánica de Taller E. Solsona Alsina
- Elementos de Máquinas Dobrovolski y otros MIR
- Diseño de Elementos de Máquinas V.M. Faires Montaner y Simón S.A.
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