Espejos.

ESPEJOS

1 L(S-94).- ¿Dónde se debe colocar un objeto para que un espejo cóncavo forme imágenes virtuales? ¿Qué tamaño tienen estas imágenes? Ayúdate de las construcciones geométricas necesarias para su explicación.

Solución

Las imágenes virtuales son aquellas que se forman por la intersección de las prolongaciones de los rayos.

En los espejos, tanto cóncavos como convexos la distancia focal f es

f = R/2

en donde R es el radio de curvatura del espejo.

En un espejo cóncavo sólo se obtienen imágenes virtuales si el objeto está situado dentro de la distancia focal del espejo, es decir a una distancia menor que R/2.

Para construir la imagen de un objeto situado en esta posición, se traza un rayo parale lo al eje que al reflejarse pasará por el foco y otro en la dirección del radio del espejo que se refleja en esa misma dirección. Como se ve en el esquema la imagen de ese punto se forma en la intersección de las prolongaciones (líneas discontinuas) de estos dos rayos dando como resultado una imagen virtual, mayor y derecha del objeto.

2 L(J-95).- Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 0,8 m. Determinar las posiciones del objeto y de la imagen en los siguientes casos: (a) La imagen es real, invertida y tres veces mayor que el objeto. (b) La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto. Efectuar la construcción geométrica en ambos casos.

Sol.: (a) s = -1,07 m y s' = - 3,21 m ; (b) s = - 0,53 m y s' = 1,59 m

Solución

a) En los espejos esféricos, tanto cóncavos como convexos, la distancia focal objeto es igual a la distancia focal imagen y, por tanto, se considera únicamente una distancia focal que es igual a la mitad del radio de curvatura del espejo.

f = f' = R/2

En nuestro caso tenemos un espejo cóncavo de distancia focal f = 0,8 m y por tanto el radio será

R = 2•f = 1,6 m

Recuerda que con el convenio de signos utilizado tanto f como R entran en las fórmulas con signo menos.

Si la imagen es real s' tendrá que ser también negativa ya que se debe formar por la intersección de los rayos.

Si la imagen es tres veces mayor e invertida

y'/y = - 3

en consecuencia del aumento lateral obtenemos

- 3 = - s'/s  s' = 3•s

que sustituido en la ecuación del espejo



de donde

s = - 1,07 m

y la distancia imagen

s' = - 3,21 m

El signo menos en s', que ya suponíamos, indica que la imagen se ha formado a la izquierda del vértice y por intersección de los rayos y en consecuencia será una imagen real.

El objeto está situado entre el foco, f = 0,8 m y el radio de curvatura del espejo, R = 1,6 m.

(b) En este segundo caso, la imagen es virtual por tanto debe formarse gráficamente por la intersección de las prolongaciones de los rayos, en consecuencia a la derecha del vértice y por tanto s' debería ser positiva.

Si la imagen es derecha y tres veces mayor tenemos que

y'/y = 3

en consecuencia del aumento lateral obtenemos

3 = - s'/s  s' = - 3•s

que sustituido en la ecuación del espejo



de donde

s = - 0,53 m

y la distancia imagen

s' = 1,59 m

El signo positivo de s' indica que la imagen se ha formado a la derecha del vértice, por intersección de las prolongaciones de los rayos y, en consecuencia, será una imagen virtual.

El objeto está situado ahora entre el foco, f = 0,8 m y el vértice del espejo.

3 L(S-95).- Se utiliza un espejo esférico para formar una imagen invertida, cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla situada a 5 m del objeto: (a) Determinar la posición del objeto anterior respecto al espejo y el valor del radio de curvatura de dicho espejo. ¿Qué tipo de espejo es? (b) Utilizando el mismo espejo, ¿a qué distancia tendría que colocarse el objeto para que la imagen formada fuera virtual y de tamaño cinco veces mayor?. Efectúe la construcción geométrica en ambos casos.

Sol.: s = - 5/4 m ; R = - 2,08 m ; cóncavo ; (b) s = - 0,83 m

Solución

Si la imagen se recoge sobre una pantalla debe ser una imagen real (s' < 0) lo que indica que el espejo debe ser cóncavo ya que los espejos convexos siempre dan imágenes virtuales.

En los espejos esféricos, tanto cóncavos como convexos, la distancia focal objeto es igual a la distancia focal imagen y, por tanto, se considera únicamente una distancia focal que es igual a la mitad del radio de curvatura del espejo.

f = f' = R/2

Con el convenio de signos utilizado, en un espejo cóncavo el radio y la distancia objeto serán negativas y por tanto f < 0 y s < 0.

La ecuación fundamental de los espejos y utilizando este convenio de signos se puede escribir

El aumento lateral es

ML = y'/y = - s'/s

RESOLUCIÓN Y CÁLCULOS:

a) Para que la imagen en un espejo cóncavo sea real, mayor e invertida el objeto debe estar situado entre el foco y el centro de curvatura

Hagamos los cálculos.

Como la imagen es invertida y cinco veces mayor

y'/y = - 5

en consecuencia del aumento lateral obtenemos

- 5 = - s'/s  5 = s'/s

la imagen se forma a 5 m del objeto de modo que si llamamos a la distancia desde el objeto al vértice s = -x y s' = -(5+x) indicando con el signo menos que la imagen y el objeto están situados a la izquierda del vértice

de donde

5•x = 5+x  x = 5/4 m  s = - 5/4 m y s’ = - 25/4 m

que sustituidas en la ecuación del espejo

 

como

f = R/2  R = 2•f = 2(-25/24) = - 2,08 m

de modo que el objeto está situado entre el foco y el centro de curvatura del espejo como esperábamos.

b) Para que la imagen en un espejo cóncavo sea virtual, derecha y mayor el objeto debe estar situado entre el foco y el vértice del espejo

Hagamos los cálculos.

Como la imagen es derecha y cinco veces mayor

y'/y = 5

en consecuencia del aumento lateral obtenemos

5 = - s'/s  s' = - 5•s

que sustituyendo en la ecuación del espejo y sabiendo que la distancia focal es la misma de antes

f = -1,04 m



de donde

s = - 0,83 m

de modo que el objeto está situado entre el foco y el vértice del espejo como esperábamos.

4 L(J-96).- Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo. El objeto mide 5 mm y la imagen ha de tener una altura de 30 cm. Determinar: (a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. (b) El radio de curvatura del espejo. Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.

Sol.: (a) s = -7 cm ; (b) R = - 13,76 cm

Solución

El objeto, una flecha que mide 5 mm, lo supondremos colocado por encima del eje y por tanto positivo

y = 0,5 cm

La imagen, que según el enunciado es invertida, mide 30 cm y su signo negativo

y' = -30 cm

La imagen se forma a 420 cm delante del espejo, en consecuencia a la izquierda del vértice del espejo

s' = -420 cm

RESOLUCIÓN Y CÁLCULOS:

a) La definición del aumento lateral del espejo nos da una relación entre el tamaño del objeto e imagen y sus distancias al vértice

despejando la distancia objeto s y sustituyendo de acuerdo con el convenio de signos

es decir, el objeto debe colocarse a 7 cm del espejo y a la izquierda, al mismo lado que la imagen.

b) La ecuación de los espejos es

en donde f es la distancia focal del espejo que está relacionada con su radio de curvatura en la forma

R = 2•f

Sustituyendo los datos

despejando f y operando obtienes

f = - 6,88 cm

negativo, es decir, a la izquierda del vértice, como corresponde a la distancia focal en los espejos cóncavos.

El radio de curvatura, con el mismo signo que la distancia focal será

R = - 2•6,88 = - 13,76 cm

ANÁLISIS DEL RESULTADO:

Según los resultados obtenidos, el objeto está situado entre el foco y en centro de curvatura del espejo. La imagen es invertida y mayor que el objeto.

La construcción geométrica presenta un pequeño problema de escala.

El hecho de que la imagen, cuyo tamaño es de 30 cm, se forme a 420 cm del espejo hace difícil una representación a escala dentro del papel, de modo que la resolución gráfica del ejercicio tiene exclusivamente un valor cualitativo.

Como

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