Estadística descriptiva Medidas de posición o de tendencia central

Estadística descriptiva

Medidas de posición o de  tendencia central

[pic 1]

Las medidas de posición o tendencia central que se estudiarán en este curso son:

                                                            MEDIA ARITMÉTICA[pic 2]

• PROMEDIOS SIMPLES       MEDIA GEOMÉTRICA

                                             MEDIA ARMÓNICA

• PROMEDIO ARIMÉTICO PONDERADO
• MEDIANA
• MODO O MODA

• PROMEDIOS SIMPLES

1. Media aritmética

Sea X una variable  y sean  [pic 3] , las n observaciones de dicha variable, se  define la media aritmética  [pic 4]       :

1. Serie simple

[pic 5]

1. Serie de frecuencias

[pic 6]

1. Serie con intervalos

Ídem b) reemplazando [pic 7]  por las marcas de clase  

Recordemos que: las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos de clase

Propiedades de la media aritmética

• La suma de los desvíos con respecto a la media aritmética es igual a cero

[pic 8]

• La media aritmética es distributiva con respecto a la adición de dos o más variables

[pic 9]

• La media de una constante es la misma constante

[pic 10]

[pic 11]

• La media aritmética de una constante por una variable es igual a la constante por la media de la variable

[pic 12]

• Dados los valores muestrales [pic 13]  , la media aritmética de dichos valores es el único número a  para el cual  [pic 14]es mínimo

Ejemplo para calcular la media aritmética en  distribuciones con intervalos

La siguiente distribución de frecuencias se obtuvo con los datos de una muestra de paquetes de pan del estante de un supermercado, el propósito fue estudiar las horas de deterioro de los mismos. ¿Cuál es el tiempo medio de deterioro?

Solución:

Es conveniente graficar la distribución mediante un histograma

[pic 15]

Como necesitamos el tiempo medio de deterioro calculamos la media aritmética, buxcando previamente las marcas de clase de cada intervalo

Utilizamos la fórmula b) reemplazando [pic 16]  por las marcas de clase  

[pic 17]

Interpretación :  El tiempo medio de deterioro es de 121, 62 horas

Algunos inconvenientes que presenta la media aritmética:

Supongamos que una PYME tiene 5 empleados que ganan  mensualmente:

Empleado 1  : $ 2000

Empleado 2  : $ 1800

Empleado 3  : $ 2100

Empleado 4  : $ 1900

Empleado 5  : $ 20000

¿Cuál es el salario medio?

Solución :

Como es una serie simple calculamos la media aritmética como

[pic 18]

Entonces el salario promedio en esta PYME es de $ 5560

¿Es este valor representativo de los empleados de la empresa?  NO

¿Qué ocurrió? El empleado 5 tiene un salario muy diferente del resto  de los empleados. La media aritmética tiene el inconveniente de estar muy influida por los valores extremos de la variable en nuestro caso el valor 20000.

1. Media geométrica

Sea X una variable que toma  únicamente valores positivos y sean [pic 19] los valores muestrales de dicha variable se define la media geométrica:

1. Serie simple

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1. Serie de frecuencias

[pic 21]

1. Serie con intervalos

Ídem b) reemplazando [pic 22]  por las marcas de clase  

Recordemos que: las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos de clase

Observaciones:  

Se recomienda su uso si los datos de la variable están en progresión geométrica

Propiedades:

• Sea  [pic 23]
• Sea [pic 24][pic 25]

Ejemplo:

Un país muy preocupado por sus altos niveles  inflacionarios, implementó una política de control de precios, resultando sus  índices de precios al consumidor (IPC) en los últimos 6 años, los valores de la tabla. Se desea conocer el promedio IPC en dicho período

Solución:

¿Es la media geométrica el correcto promedio?

¿Están los valores en progresión geométrica?

Calculamos los cocientes

[pic 26]

Observamos que los datos están aproximadamente en progresión geométrica , por lo tanto el promedio adecuado es la media geométrica

[pic 27]

1. Media armónica

Sea X una variable que toma valores no nulos, se define la media armónica

1. Serie simple

[pic 28]

1. Serie de frecuencias

[pic 29]

1. Serie con intervalos

Ídem b) reemplazando [pic 30]  por las marcas de clase  

Recordemos que: las marcas de clase son los puntos medios de los intervalos de clase

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