Eucaciones

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Trabajo final

Métodos matemáticos

En la ingeniería

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Problema de transferencia de calor:

La figura muestra una vista superior de la pared de una chimenea de un horno perteneciente a una fábrica de perfiles de acero. Por la chimenea circulan gases de combustión a 830 °C. El material interior de la pared es ladrillo refractario de conductividad térmica kr = 0,42 [W/m*°C] y espesor 0,20 [m], mientras que el material exterior es ladrillo común de conductividad térmica kc = 0,75 [W/m*°C] y espesor 0,10 [m]. La pared es de sección cuadrada, y su dimensión lateral es la que se indica en la figura.

Se estima que durante los días fríos la temperatura de la superficie exterior de la chimenea puede bajar hasta los 10 °C. De esta manera, existe el riesgo que la pared se agriete, producto de la elevada variación de temperatura entre el interior y el exterior de la misma. Para evaluar el riesgo, formule un modelo numérico que permita determinar la distribución de temperatura al interior de la pared

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Datos del ejercicio:

• Temperatura exterior chimenea: 10° C.
• Temperatura interior chimenea: 830° C.
• Conductividad termina ladrillo refractario: 0,42 [W/m*°C]
• Conductividad térmica ladrillo común: 0,75 [W/m*°C]
• Espesor ladrillo refractario: 0,20 m.
• Espesor ladrillo común: 0,10 m.

Para el desarrollo del ejercicio, decidimos considerar h = 0,05 [m], con lo cual los nodos distribuidos en una cuarta parte de la vista superior de la pared de la chimenea, se considera solo una cuarta parte, ya que el grosor de los materiales en las cuatro paredes es igual, y la temperatura externa es igual en todo el alrededor de la chimenea, por lo cual la temperatura en un nodo, es igual a la temperatura del nodo ubicado al otro extremo, con las mismas condiciones.

Los nodos están distribuidos de la siguiente manera:

Ecuaciones obtenidas:

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1. -4*T1 + T2 + T11 = -20
2. T1 - 4*T2 + T3 + T12 = -10
3. T2 - 4*T3 + T4 + T13 = -10
4. T3 - 4*T4 + T5 + T14 = -10
5. T4 - 4*T5 + T6 + T15 = -10
6. T5 - 4*T6 + T7 + T16 = -10
7. T6 - 4*T7 + T8 + T17 = -10
8. T7 - 4*T8 + T9 + T18 = -10
9. T8 - 4*T9 + T10 + T19 = -10
10.  
11.  T1 - 4*T11 + T12 + T21 = -10
12.  0,75* T2 + 0,75*T11 - 2,34*T12 + 0,585*T13 + 0,585*T22 = 0
13.  0,75*T3 + 0,585*T12 - 2,34*T13 + 0,585*T14 + 0,42*T23 = 0
14.  0,75*T4 + 0,585*T13 - 2,34*T14 + 0,585*T15 + 0,42*T24 = 0
15.  0,75*T5 + 0,585*T14 - 2,34*T15 + 0,585*T16 + 0,42*T25 = 0
16.  0,75*T6 + 0,585*T15 - 2,34*T16 + 0,585*T17 + 0,42*T26 = 0
17.  0,75*T7 + 0,585*T16 - 2,34*T17 + 0,585*T18 + 0,42*T27 = 0
18.  0,75*T8 + 0,585*T17 - 2,34*T18 + 0,585*T19 + 0,42*T28 = 0
19.  0,75*T9 + 0,585*T18 - 2,34*T19 + 0,585*T20 + 0,42*T29 = 0
20.  
21.  T11 - 4*T21 + T22 + T31 = -10
22.  0,585*T12 + 0,42*T21 - 2,34*T22 + 0,75*T23 + 0,585*T32 = 0
23.  T13 + T22 - 4*T23 + T24 + T33 = 0
24.  T14 + T23 - 4*T24 + T25 + T34 = 0
25.  T15 + T24 - 4*T25 + T26 + T35 = 0
26.  T16 + T25 - 4*T26 + T27 + T36 = 0
27.  T17 + T26 - 4*T27 + T28 + T37 = 0
28.  T18 + T27 - 4*T28 + T29 + T38 = 0
29.  T19 + T28 - 4*T29 + T30 + T39 = 0
30.  

1.  T21 - 4*T31 + T32 + T41 = -10
2.  0,585*T22 + 0,42*T31 - 2,34*T32 + 0,75*T33 + 0,585*T42 = 0
3.  T23 + T32 - 4*T33 + T34 + T43 = 0
4.  T24 + T33 - 4*T34 + T35 + T44 = 0
5.  T25 + T34 - 4*T35 + T36 + T45 = 0
6.  T26 + T35 - 4*T36 + T37 + T46 = 0
7.  T27 + T36 - 4*T37 + T38 + T47 = 0
8.  T28 + T37 - 4*T38 + T39 + T48 = 0
9.  T29 + T38 - 4*T39 + T40 + T49 = 0
10.  
11.  T31 - 4*T41 + T42 + T51 = -10
12.  0,585*T32 + 0,42*T41 - 2,34*T42 + 0,75*T43 + 0,585*T52 = 0
13.  T33 + T42 - 4*T43 + T44 + T53 = 0
14.  T34 + T43 - 4*T44 + T45 + T54 = 0
15.  T35 + T44 - 4*T45 + T46 + T55 = 0
16.  T36 + T45 - 4*T46 + T47 + T56 = 0
17.  T37 + T46 - 4*T47 + T48 + T57 = 0
18.  T38 + T47 - 4*T48 + T49 + T58 = 0
19.  T39 + T48 - 4*T49 + T50 + T59 = 0
20.  
21.  T41 - 4*T51 + T52 + T56 = -10
22.  0,585*T42 + 0,42*T51 - 2,34*T52 + 0,75*T53 + 0,585*T57 = 0
23.  T43 + T52 - 4*T53 + T54 + T58 = 0
24.  T44 + T53 - 4*T54 + T55 + T59 = 0
25.  T45 + T54 - 4*T55 + T60 = -830
26.  T51 - 4*T56 + T57 + T61 = -10  
27.  0,585*T52 + 0,42*T56 - 2,34*T57 + 0,75*T58 + 0,585*T62 = 0
28.  T53 + T57 - 4*T58 + T59 + T63 = 0
29.  T54 + T58 - 4*T59 + T60 + T64 = 0
30.  T55 + T59 - 4*T60 + T65 = -830

1.  T56 - 4*T61 + T62 + T66 = -10
2.  0,585*T57 + 0,42*T61 - 2,34*T62 + 0,75*T63 + 0,585*T67 = 0
3.  T58 + T62 - 4*T63 + T64 + T68 = 0
4.  T59 + T63 - 4*T64 + T65 + T69 = 0
5.  T60 + T64 - 4*T65 + T70 = -830
6.  T61 - 4*T66 + T67 + T71 = -10
7.  0,585*T62 + 0,42*T66 - 2,34*T67 + 0,75*T68 + 0,585*T72 = 0
8.  T63 + T67 - 4*T68 + T69 + T73 = 0
9.  T64 + T68 - 4*T69 + T70 + T74 = 0
10.  T65 + T69 - 4*T70 + T75 = -830
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  

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