Formulas De Colas

Formulas

Se dice que esta variable aleatoria tiene una distribución exponencial con parámetro si su función de densidad de probabilidad es:

Las probabilidades acumuladas son

y el valor esperado y la variancia de T son

¿Cuáles son las implicaciones para el modelo de colas si se supone que T tiene una distribución exponencial? Para explorar esta pregunta se examinarán seis propiedades de la distribución exponencial.

Propiedad 1: fT (t) es una función de t estrictamente decreciente de t (t >0).

Una consecuencia de la propiedad 1 es que

para cualesquiera valores estrictamente positivos de Dt y t. [Ésta es una consecuencia del hecho de que estas probabilidades son el área bajo la curva de fT (t) en el intervalo indicado de longitud Dt, y la altura promedio de la curva es menor para la segunda probabilidad que para la primera.] Por lo tanto, no sólo es posible sino también bastante probable que T tome un valor pequeño cercano a cero. En realidad,

FIGURA 17.3 Función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial.

mientras que

de manera que es más probable que el valor que tome T sea “pequeño” [esto es, menor que la mitad de E(T)] que “cercano” a su valor esperado [es decir, no más alejado que la mitad de E(T)], aun cuando el segundo intervalo tiene el doble de amplitud que el primero.

¿En realidad, ésta es una propiedad razonable de T en un modelo de colas? Si T representa los tiempos de servicio, la respuesta depende de la naturaleza general del servicio en cuestión.

Propiedad 2: Falta de memoria.

Esta propiedad se puede expresar en forma matemática como

para cualesquiera cantidades positivas de t e Dt. En otras palabras, la distribución de probabilidad del tiempo que falta hasta que ocurra el evento (llegada o terminación de servicio) siempre es la misma, sin importar cuánto tiempo (Dt) haya pasado. En efecto, el proceso “olvida” su historia. Este sorprendente fenómeno ocurre con la distribución exponencial debido a que

En el caso de los tiempos entre llegadas, esta propiedad describe la situación común en donde

el tiempo que transcurre hasta la siguiente llegada está totalmente

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