Fundamentos De älgebra Lineal

APLICACIONES LINEALES.

INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS.

Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada

elemento de A, uno de B.

La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A  B

→

o bien

f→

A  B.

El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final.

Si la aplicación f asigna al elemento a∈A el elemento b∈B, diremos que b es la imagen

de a, lo que se denota por f(a) = b.

La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los

elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.

Clasificación de las aplicaciones:

• Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes

iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.

• Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del

conjunto final B han sido utilizados.

• Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una

aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada

elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.

Si f es biyectiva existe su inversa, denotada f –1: A  B , que “deshace” lo hecho por f.

→

Ejemplos:

1. La aplicación del conjunto de la población española mayor de edad en el conjunto de los

números naturales, que asigna a cada ciudadano su número de DNI.

Es inyectiva, pues no hay dos personas con el mismo DNI. No es suprayectiva, pues no

todos los números se utilizan.

2. La aplicación del conjunto de los números reales en el conjunto de los reales positivos,

R  R+

→

que asigna a cada número su cuadrado:

x

x2

No es inyectiva, pues hay números con el mismo cuadrado (p.ej. 2 y –2). Es suprayectiva,

pues todos los reales positivos son el cuadrado de algún número.

• En este capítulo definiremos aplicaciones entre espacios vectoriales.

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 1

APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES

Definición: Aplicación lineal

Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f: V  W, diremos que f es

→

lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre

vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación:

si

u = α v+ β w (en V) entonces

u’ = α v’ + β w’ (en W)

donde u’, v’, w’ son respectivamente las imágenes de u, v, w.

Esto se puede expresar también así:

(1) f(α v+ β w) = α f(v) + β f(w)

para v, w∈V

(“La imagen de una combinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes”. )

También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares:

(2)

(2a) f(v+ w) = f(v) + f(w)

(2b) f(α v) = α f(v)

para v, w∈V

para v∈V, α escalar.

Por tanto, a la hora de probar si una aplicación es lineal, podemos utilizar indistintamente (1)

o (2).

•

Las aplicaciones lineales también se pueden llamar homomorfismos.

•

Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos

funcionan como espacios vectoriales. Por ejemplo,

S={(α, 2α) : α ∈ R } es un subespacio de R2 y en él podemos definir la aplicación lineal

S

(α , 2α )

f→



R3

(3α , 4α ,5α )

Ejemplos.

1. Consideremos la siguiente aplicación de R3 en R2 y veamos si es lineal:

R3

(x,y,z)

f→



R2

(2x, z)

Vamos a comprobar que se cumple la afirmación (2) anterior.

(2a): Veamos que f(v+ w) = f(v) + f(w) para cualesquiera v, w∈ R3 :

Sean dos vectores genéricos de R3 , v=(a,b,c), w= (a’, b’, c’), entonces

f(v + w) = f ( (a,b,c) + (a’, b’, c’) ) = f(a+a’, b+b’, c+c’) = ( 2(a+a’), c+c’)

f(v) + f(w) = f(a,b,c) + f(a’,b’,c’) = (2a, c) + (2a' , c’) = ( 2a+2a’, c+c’)

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

son iguales.

Aplicaciones Lineales 2

(2b): Veamos que f(a v) = α f(v) para cualesquiera v ∈ 3 , α escalar.

R

Sea un vector genérico v=(a,b,c) de R3 y un escalar α , entonces:

α f(v) = α f(a,b,c) = α (2a, c) = (2α a, α c)

f(α v) = f( α (a,b,c)) = f(α a, α b, α c) = (2α a, α c)

son iguales.

Como (2a) y (2b) se cumplen para vectores genéricos, concluimos que la aplicación f es

lineal.

2. Veamos ahora la siguiente aplicación de R2 en R4 :

g

R2

(x,y)

 R4

→

(x, y, x+y,1 )

Si encontramos un caso concreto en que no se cumpla (2a) o (2b), la aplicación ya no será

lineal. En efecto,

(1,0) (1,0,1,1)

(2,0) (2,0,2,1)

Al multiplicar un vector por 2, su imagen no ha

quedado multiplicada por 2.

Por tanto g no es lineal.

Por su importancia o significado geométrico, destacamos algunas aplicaciones lineales:

1. Aplicación identidad: de un espacio vectorial en sí mismo. Asigna a cada vector el

mismo vector.

id → V



u

V

u

2. Aplicación nula: entre dos espacios vectoriales V y W, asigna a todo vector de V el

vector cero de W.

V

n→ W



u

0

3. Giros: pueden hacerse en el plano o el espacio ( R2 ó R3 ). Por ejemplo la siguiente

aplicación en R2 hace girar a todos los vectores del plano 45o en sentido antihorario:

R2

 R2

→

(x,y)

(

2

2

x-

2

2

y,

2

2

x+

2

2

y)

4. Reflexiones o simetrías: en el espacio R3 podemos “reflejar” los vectores como en un

espejo, respecto a un plano dado. En el plano R2 podemos hacerlo respecto a una recta.

Por ejemplo, la siguiente aplicación es una simetría en R3 , respecto del plano XZ.

R3

(x,y,z)

 R3

→

(x, - y,z)

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 3

5. Homotecias: Multiplican los vectores por un cierto escalar (el mismo para todos los

vectores). Si el escalar es mayor que 1, se trata de una dilatación, mientras que si es menor

que 1 se trata de una contracción. La siguiente homotecia puede representar la dilatación del

1% de una lámina de metal bajo el efecto del calor:

R2

(x,y)

 R2

→

(1.01x, 1.01y )

6. Proyecciones: Son aplicaciones que llevan todos los vectores del espacio R3 a un

cierto plano, sobre el que proyectamos.

La siguiente aplicación transforma cualquier pieza tridimensional en su vista en alzado

(proyección sobre el plano XZ).

R3

(x,y,z)

 R3

→

(x,0,z)

Propiedad: Si f: V  W es una aplicación lineal, la imagen del vector cero de V siempre

→

es el vector cero de W.

Demostración:

Denotemos por 0V y 0W el vector cero de V y de W respectivamente.

Entonces, partiendo de cualquier vector v∈V, tenemos:

f( 0V ) = f( v – v) = f(v) – f(v) = 0W

Observación. Esta propiedad puede utilizarse para probar que una aplicación no es lineal,

pues si no cumple esta propiedad no podrá serlo. (Si la cumple, podrá ser lineal o no.)

Teorema: Transformación de subespacios.

a) Una aplicación lineal f: V  W transforma subespacios de V en subespacios de W.

→

Dado S un subespacio de V, su imagen se denota por f(S). Es el subespacio de W formado

por las imágenes de todos los vectores de S.

b) El subespacio f(S) tiene dimensión menor o igual que la dimensión de S.

Además se tiene que si la aplicación f es inyectiva, entonces se conservan las

dimensiones, es decir, f(S) tiene la misma dimensión que S.

•

Observar el significado geométrico de este teorema: ya que los subespacios de Rn son

rectas, planos..., el apartado a) afirma que éstos no pueden transformarse, por una

aplicación lineal, en líneas curvas o superficies curvas.

El apartado b) significa que una recta no puede, por ejemplo, transformarse en un plano (la

dimensión no puede aumentar). Un plano podrá transformarse en otro plano; en una recta; o

en un punto { 0 }.

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Aplicaciones Lineales 4

Teorema: imagen de un sistema generador.

Sea f: V  W lineal, y sea S un subespacio de V. Entonces, la imagen de un sistema

→

generador de S es un sistema generador de f(S).

Es decir: si v1, . . . vr generan S, entonces f(v1), . . . , f(vr) generan f(S).

Ejemplo. Usaremos el teorema anterior para calcular cuál es la imagen de un subespacio.

Sea la aplicación lineal:

R3

(x,y,z)

f→

 R2

(x+y+2z,

...