Geologia

1° Hallar la longitud de arco de la curva y^2=4x-x^2 , comprendido entre los puntos en que corta el eje x.

SOLUCIÓN:

y^2=4x-x^2 y= ±√(4x-x^2 )

Graficamos

Derivando:

□(24&dy)/□(24&dy)=(4-2x)/(2√(4x-x^2 ))=(2-x)/√(4-x^2 )

(□(24&dy)/□(24&dx))^2=(□(24&2-x)/□(24&4x-x^2 ))^2

1+(□(24&dy)/□(24&dx))^2=1+(□(24&2-x)/□(24&4x-x^2 ))^2=(4x-x^2+4-4x+x^2)/(4x-x^2 )

1+(□(24&dy)/□(24&dx))^2=4/(4x-x^2 ); L=∫_2^4▒〖√((4/(4x-x^2 ))) dx=∫_0^4▒□(24&2dx)/√(4x-x^2 )=2 ∫_0^4▒□(24&dx)/√(-(x^2-4x) )〗

L=2∫_0^4▒〖□(24&dx)/√(-(x-2)^2+4)=〗 2∫_0^4▒〖□(24&dx)/√(4-(x-2)^2 )=∫_0^4▒2〗 Arc sen⁡((x-2)/2)

Hallar la longitud de arco de la curva y=ln⁡(x) , desde x=√3 hasta x=√8.

Solución:

Derivando:

dy/dx=1/x 〖( dy/dx )〗^2=1/x^2

y=ln⁡(x) 1+〖( dy/dx )〗^2=1+1/x^2 =(x^2+1)/x^2

L=∫_(√3)^(√8)▒√((x^2+1)/x^2 ) □(24&dx=)

L=2Arc sin⁡〖1-2Arc sin⁡〖-1=2(π/2)-2=π+π=2π 〗 〗

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