Guía de Ejercicios Logaritmos

Guía de Ejercicios Logaritmos

 Bases Teóricas, Propiedades, Aplicación de Propiedades, Cologaritmo, Antilogaritmo

 y 50 Ejercicios de Aplicación (32 con respuesta y 18 sin respuesta)

Realizada por el Prof. Stalin González

El logaritmo de un número, respecto a cierta base, es el exponente al que debe elevarse dicha base para encontrar al número dado.

Así entones si:              argumento                                                                                       da como resultado “1”[pic 1][pic 2]

50 = 1                 log5 1 = 0       logaritmo            En otras palabras, se interpreta, que:   Log5 1 = 0       [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

                                   base                                                                                  

                                                                                                                                               la base “5”, elevada a la “0”

Otros ejemplos:

101 = 10            log10 10 = 1  Se lee: Si 101 = 0, entonces el logaritmo, en base 10, de 10 es igual a 1[pic 7]

27 = 128          log2 128 = 7 Se lee: Si 27 = 128, entonces, el logaritmo, en base 2, de 128, es igual a 7[pic 8]

10-4 = 0.0001          log10 0.0001 = -4 Se lee: Si 10-4 = 0, entonces, el logaritmo, en base 10, de 0,0001 es igual a -4[pic 9]

Más adelante veremos que cuando el logaritmo es en base 10 (log10) obviamos la escritura de la base y sólo colocamos log. Aquí se sobreentiende que al no ponerle la base, ésta es 10. En virtud de esto, en el ejemplo 3, podemos escribir, y es lo que se acostumbra, que log 0,0001 = -4. Esto aplica sólo cuando la base del logaritmo es 10

Propiedades de los Logaritmos (cuando al logaritmo le colocamos como base una letra, por ejemplo “a”, esto quiere decir que es el logaritmo en cualquier base)

1º Logaritmo de 1                 loga 1 = 0, el logaritmo en base “a” (o sea, en cualquier base), de 1 es igual a 0[pic 10]

2º Logaritmo de la base               loga a = 1, el logaritmo en base “a” de “a” es igual a 0[pic 11]

3º Logaritmo de un Producto                       loga x.y = loga x + loga y, el logaritmo en base “a”  de “x” por “y”, aplicando la propiedad, es igual al logaritmo, en base “a” de x, más, el logaritmo, en base “a” dé y[pic 12]

4º Logaritmo de un Cociente                 loga  = loga x – loga y, el logaritmo en base “a”  de “x” entre “y”, aolicando la propiedad, es igual al logaritmo, en base “a” de x, menos, el logaritmo, en base “a” dé y[pic 14][pic 13]

5º Logaritmo de una Potencia               loga xn = n.loga x,  el logaritmo en base “a”  de “xn”, aplicando la propiedad, es igual a “n” que multiplica al logaritmo, en base “a” de x. Como vemos, el exponente, en este caso “n”, pasa a multiplicar al resto de la expresión [pic 15]

6º Logaritmo de una Raíz                   loga  =  , al aplicar la propiedad, el índice de la raíz, en este caso ”r”, pasa a dividir a la expresión logarítmica[pic 18][pic 16][pic 17]

7º Logaritmo de una Potencia de la Base              loga an = n, cuando la base del logaritmo y la base del argumento son iguales, al aplicar la propiedad, esa operación da como resultado “n”, en este caso. “n” es cualquier numero o expresión      [pic 19]

Dos Propiedades adicionales muy importantes: 

Leamos con calma y tratemos de concentrarnos para entender que es lo que nos dice esta expresión. [pic 20]

 = x, Tenemos una potencia donde la base de la misma, en este caso “a”, y la base del logaritmo que está en el exponente, “a”, son iguales, la operación da como resultado el argumento del logaritmo que estaba en el exponente            [pic 21]

9º Si loga x = loga y            x = y, Si 2 expresiones logarítmicas son iguales, entonces, eso quiere decir, que sus argumentos son iguales[pic 22]

Cologaritmo de un Número : El cologaritmo de un número cualquiera “n” es el logaritmo de su inverso. Recordemos que: el inverso de A es , el inverso de 5 es  , el inverso de  , el inverso de [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Por tanto, cologa n = loga  Si aplicamos las propiedades de los logaritmos que acabamos de ver, tenemos que loga  = loga 1 – loga n. Ya que el loga 1 = 0, entonces se puede observar que el cologaritmo de un número cualquiera es igual a menos el logaritmo de dicho número (cologa n = - loga n[pic 27][pic 28]

Si B y C son inversos, entonces loga B + loga C = 0, por tanto loga B + cologa B = 0

Antilogaritmo de un Número: El antilogaritmo de un número, o de una expresión, es el número o expresión al cual corresponda dicho logaritmo. En otras palabras, el antilogaritmo es el argumento de la expresión logarítmica.

Ejemplos:

• en esta expresión loga b, el antilogaritmo es “b”
• en la expresión loga , el antilogaritmo es [pic 29][pic 30]

Estas son las reglas generales para aplicar antilogaritmos:

En los Antilogaritmos los signos se transforman de manera inversa que cuando se aplican logaritmos:

1. La suma de logaritmos se transforma en el producto de los argumentos:

En la expresión loga b + loga c, su antilogaritmo es b.c

1. La diferencia de logaritmos se transforma en división de argumentos

En la expresión loga b – loga c, su antilogaritmo es   [pic 31]

1. El producto de un número por un logaritmo se transforma en una potencia

En la expresión n.loga b su antilogaritmo es loga bn 

1. La división de un logaritmo por un número se transforma en una raíz

 , su antilogaritmo es  [pic 32][pic 33]

1. todo número, letra o expresión que no esté afectada de log se transforma en la base logarítmica elevada a dicha letra o expresión

Si loga (argumento) = 3, entonces el antilogaritmo es a3

Si loga (argumento) = b, entonces el antilogaritmo es ab

1. Finalmente, cuando se aplican antilogaritmos, los términos positivos de la expresión logarítmica pertenecen al numerador y los términos negativos pertenecen al denominador de la expresión final

Desarrolladas ya estas bases teóricas, vamos a realizar ejercicios

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