Historia del algebra lineal

Divulgaciones  Matem´aticas  Vol.  14  No.  2(2006),  pp.  153–170

Historia del

A´lgebra  Lineal

hasta los Albores del Siglo XX

History of Linear Algebra up to the Dawn of the 20th Century

Deivi Luzardo (dluzardo@luz.edu.ve) Alirio J. Pen˜a P. (apena@luz.edu.ve)

Departamento  de  Matem´aticas,  Facultad  Experimental  de  Ciencias, Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela.

Resumen

En  este  trabajo  se  ofrece  una  aproximaci´on  al  desarrollo  hist´orico del  ´algebra  lineal.  Se  trata  el  origen  del  concepto  de  sistema  de  ecua- ciones  lineales  y  algunos  m´etodos  para  hallar  sus  soluciones,  como  el de  eliminaci´on  gaussiana,  el  cual  fue  concebido  originalmente  por  los matem´aticos  chinos  del  siglo  II  a.C.  Tambi´en,  se  tratan  los  inicios  de los conceptos de matriz, determinante, rango y nulidad, forma can´onica de  Jordan,  espacio  vectorial,  independencia  lineal,  dimensi´on  y  trans- formaci´on  lineal,  entre  otros.

Palabras  y  frases  clave: Ecuaci´on lineal, matriz, determinante, espa- cio  vectorial,  transformaci´on  lineal,  forma  can´onica.

Abstract

In this work we offer an approximation to the historical development of linear algebra. We treat the origin of the concept of system of linear equations and some methods to compute their solutions, as gaussian elimination, which was originally conceibed by the chinese matemati- cians of the 2nd century b.C. Also, we treat the sources of the concepts of matrix, determinant, rank and nullity, Jordan canonical form, vec- tor space, linear independence, dimension and linear transformation, among others.

Key words and phrases: Linear equation, matrix, determinant, vec- tor space, linear transformation, canonical form.

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Recibido 08/07/2006. Revisado 30/10/2006. Aceptado 30/11/2006. MSC (2000): Primary: 01A02, 11C20; Secondary: 01A85.

1        Introducci´on

Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evoluti- vo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que le  permitan  no  s´olo  poder  cazar  y  recolectar  con  mayor  eficiencia,  sino  tam- bi´en poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fen´omenos peri´odicos  de  la  naturaleza.  Como  parte  de  este  proceso  de  elaboraci´on,  el hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver pro- blemas concretos o que le han ayudado a encontrar una soluci´on al problema espec´ıfico que lo afecta. Todo esto con el prop´osito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos proble- mas  tienen  un  car´acter  lineal,  es  decir,  pueden  plantearse  mediante  algunas ecuaciones  lineales  con  coeficientes  en  algu´n  campo  de  nu´meros  y  con  unas pocas variables o inc´ognitas. Recordemos que la palabra ecuaci´on proviene del lat´ın  aequatio  que  significa  igualdad.  As´ı,  una  ecuaci´on  es  una  igualdad  que contiene  algunas  cantidades  desconocidas.  En  particular,  una  ecuaci´on  lineal es  una  ecuaci´on  de  la  forma

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b        (1)

donde a1, a2, . . . , an son los coeficientes, x1, x2, . . . , xn las variables o inc´ogni- tas y b el t´ermino constante. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.

Problemas  tan  amplios  como  la  distribuci´on  de  cosechas  o  el  presupuesto de un pa´ıs, el c´alculo de la ´orbita de un asteroide (o de un planeta) y el c´alculo de la estabilidad estructural de un edificio en ingenier´ıa civil, entre muchos otros,  pueden  plantearse  en  t´erminos  de  sistemas  de  ecuaciones  lineales  para obtener  su  soluci´on.

El  presente  trabajo  ha  sido  dividido  atendiendo  a  criterios  tem´aticos  m´as que cronol´ogicos, brind´andole un mayor valor a las ideas que a las fechas. As´ı, en  la  secci´on  1  se  incluyen  algunos  antecedentes  hist´oricos  de  los  sistemas  de ecuaciones lineales de la mano de matem´aticos babilonios y chinos. En la sec- ci´on 2 se incluyen algunas notas sucintas sobre la aparici´on del sistema de los nu´meros  complejos  con  Cardano  y  las  distintas  demostraciones  del  teorema fundamental del ´algebra por parte de D’Alembert, Euler, Frontenex, Lagrange y Gauss. En la secci´on 3 se tratan los inicios de las noci´on de vector y espacio vectorial. La secci´on 4 incluye las fuentes del ´algebra de matrices, destacando los aportes de Cayley, Sylvester, Hamilton y Cauchy, entre otros. En la secci´on

5 se tratan los or´ıgenes de la noci´on de determinante de una matriz cuadrada desde  Leibniz  en  Europa  y  Seki  en  Jap´on,  pasando  por  Maclaurin,  Cramer, B´ezout,  Gauss,  Cauchy,  Jacobi  y  Sarrus,  entre  otros,  hasta  llegar  a  su  actual presentacion  axiom´atica  debida  al  genio  de  Kronecker  y  Weierstrass.  La  sec- ci´on 6 trata sobre el fundamental Teorema de Cayley-Hamilton y, finalmente, en la secci´on 7 se ofrece una conclusi´on (a modo de justificaci´on) del presente trabajo.

1. Algunos  antecedentes  hist´oricos

“La  Matem´atica  tiene  la  virtud  de  elevar  el  alma, oblig´andola  a  razonar  acerca  de  los  nu´meros.” Plat´on

Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como A´lgebra lineal se han encontrado  en  el  documento  matem´atico  m´as  antiguo  que  ha  llegado  hasta nuestros d´ıas: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algu- nos  fragmentos  en  el  Brooklyn  Museum,  y  conocido  tambi´en  como  el  Libro de  C´alculo,  el  cual  fue  escrito  por  el  sacerdote  egipcio  Ahm´es  hacia  el  an˜o 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855 ([11], Vol. I, pag. 40). En este valioso documento  se  consideran  las  ecuaciones  de  primer  grado,  donde  la  inc´ognita aparece representada por un “ibis” que significa escarbando en el suelo, po- siblemente  por  su  primog´enita  aplicaci´on  a  la  agrimensura.  Este  documento contiene  85  problemas  redactados  en  escritura  hier´atica  y  fue  concebido  ori- ginalmente  como  un  manual  pr´actico  para  los  no  iniciados.  Segu´n  el  propio Ahm´es, este texto es una copia de uno m´as antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de  cuyos  documentos  proceden  quiz´a  de  per´ıodos  m´as  antiguos.

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