INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

z

Ancho=Xi – Xi-1 = ∆xi

Altura = f(Xi)

Area = ∑_(i=1)^n▒〖f(Xi) ∆Xi 〗

INTEGRAL DOBLE MEDIANTE SUMAS DE RIEMAN

El tipo mas simple de región cerrada en R2 es la región rectangular cerrada D= [a,b] x [c,d].

Sea f: [a,b]x[c,d] R una función continua sobre el rectángulo: D= [a,b] x [c,d], daremos las consideraciones necesarias para definir a la integral doble de funciones definidas en regiones rectangulares.

Definición 1) Partición de un rectángulo

Al conjunto P = P1 x P2 = {(xi, yj): xi E P1, yj E P2} se llama partición de D= [a,b] x [c,d], donde P1 es una partición de [a,b]

P1 = {a = X0, X1,X2,…,Xn = b}

y P2 es una partición de [c,d]

P2 = { c= Y0,Y1, Y2,…, Ym = d }

Ejemplo 1. Sea D= [0,10] x [0,8]. Si P1 = { 0, 1, 2, 3,…,10} y P2 = { 0,1, 2, 3,…,8} son particiones de [0,10] y [0,8] respectivamente, entonces P = P1 x P2 es una partición del conjunto D.

Definición 2) Norma de Partición

ǁPǁ = max { l P1 l, l P2 l} se llama norma de la partición P.

Definición 3) Suma de Riemann

Sea Rij =

Uno de los rectángulos originados por la partición P.

Mij = Sup { f (x,y): (x,y) E Rij

mij = inf { f (x,y): (x,y) E Rij

Se define la suma superior de Riemann a:

Uf (P) = ∑ ∑ Mij ∆xi ∆x¬j

Se define la suma inferior de Riemann a:

Lf (P) = ∑ ∑ mij ∆xi ∆x¬j

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