Integrales Dobles Y Triples

Introducción

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo 2 f :D ⊆ → \ \ . La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.

Para calcular integrales dobles, triples o de superficie, será necesario proyectar ortogonalmente una superficie sobre alguno de los planos coordenados .Básicamente, las proyecciones son transformaciones lineales que asignan a cada punto

P = (x;y;z) sobre el sólido S (o sobre la superficies S) un punto Q, que corresponde a su proyección ortogonal sobre el plano sobre el cual estamos proyectando. El método de doble integración nos sirve para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva

y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b.

Pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función

F(x,y) de dos variables x & y

Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para

F(x,y); esto es, F(x,y)= 1, o F(x,y)= y.

Una integral múltiple o integral triple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).En ambos casos sean integrales múltiples (dobles o triples), se sigue la misma serie de pasos para su solución.

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y e l plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función definida en una región del espacio x y z, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Áreas por Doble Integración

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

Integrales dobles en coordenadas polares

Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está definida como

el diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como

Teorema

Si es continua en un rectángulo

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