Integrales dobles
Enviado por Alvaro Navea Albarracin • 31 de Marzo de 2020 • Apuntes • 980 Palabras (4 Páginas) • 152 Visitas
INTEGRALES DOBLES
Recordemos que en la integral definida el integrando es una función que existe para toda en un intervalo del eje . [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
En el caso de la integral doble, el integrando será una función dada para todo en una región cerrada acotada del plano [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
La definición de la integral doble es muy semejante a la de la integral definida. Se subdivide la región trazando rectas paralelas a los ejes y . Se numeran los rectángulos que se encuentran dentro de desde 1 hasta En cada rectángulo se escoge un punto, digamos en el ésimo rectángulo, y se forma la suma [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
Donde es el área del ésimo rectángulo. Este procedimiento puede seguirse para todo entero positivo en forma completamente independiente, pero de modo que la longitud de la máxima diagonal de los rectángulos tienda hacia cero cuando tienda al infinito. En esta forma se obtiene una sucesión de números reales ,, …Suponiendo que es continua en y que se encuentra limitada por un número finito de curvas suaves puede demostrarse que la sucesión converge y su límite es independiente de la subdivisiones y los correspondientes puntos escogidos. Este límite se llama integral doble de en la región y se representa por [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
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Formalizando la definición
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Teorema de Integrabilidad
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Teorema de Fubini para regiones planas
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Ejemplo:
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Integrales dobles sobre regiones generales
El Teorema de Fubini se puede extender a regiones generales.
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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Cálculo de integrales dobles invirtiendo los límites de integración
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Ejemplo 1:
Resuelva invirtiendo el orden de integración.
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Solución:
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Ejemplo 2:
Calcule invirtiendo los límites de integración
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Solución:
[pic 53]
Propiedades
A partir de la definición se sigue que las integrales dobles poseen propiedades muy semejantes a las de las integrales definidas. Sean y dos funciones de y definidas y continuas en una región , entonces[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]
- , constante[pic 59][pic 60]
- [pic 61]
- con [pic 62][pic 63]
Las integrales dobles en una región pueden evaluarse aplicando dos integraciones sucesivas, de la manera siguiente.[pic 64]
Supóngase que puede describirse por medio de desigualdades de la forma[pic 65]
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De modo que y representan la frontera de [pic 67][pic 68][pic 69]
Entonces
(4)[pic 70]
Primero se calcula la integral interior
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En esta integral definida, juega el papel de parámetro y el resultado de la integración será una función de , digamos, Integrando respecto a desde hasta , se obtiene el valor de la doble integral dada en (4).[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]
En forma semejante, si puede describirse por medio de desigualdades de la forma[pic 79]
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, entonces se obtiene
(5)[pic 81]
Ahora se integra primero respecto a para obtener una función de , y ésta se integra respecto a desde hasta [pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]
Si no puede representarse por medio de desigualdades como las mencionadas, entonces, primero se subdivide en varias porciones apropiadas que tengan esa propiedad, se integra separadamente en cada porción y, finalmente, se suman los resultados; este procedimiento proporcionará el valor de la integral doble de en toda la región [pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]
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