CALCULO INTEGRAL

CALCULO INTEGRAL

1 MOMENTO

FUNDAMENTOS DE INTEGRACION

HARLEY CUETA

DAIVER JOSE PEÑALOZA ALMANZA

MAURICIO ROJAS RODRÍGUEZ

TUTOR: Javier Fernando Melo Cubides

BOGOTA D.C

29 DE ABRIL DE 2014

INTRODUCCION

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, ZuChongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el SiddhantaShiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

El cálculo de áreas es una de las aplicaciones básicas de las matemáticas. Todas las grandes civilizaciones antiguas desarrollaron métodos sencillos para calcular el área encerrada por líneas poligonales, pero el problema se encontró al tratar de medir el área encerrada por líneas curvas. Este problema no se resolvió hasta finales del siglo XVII con el descubrimiento del cálculo integral.

Teniendo en cuenta lo anterior en la presente actividad se realizara la aplicación de los fundamentos integrales , correspondientes a las formulas y ecuaciones realizadas y que han sido representada desde toda civilización.

PROBLEMAS PROPUESTOS

La antiderivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

∫▒DX=(X^3+X-2)/X^2 =

∫▒〖DX(X+X^(-1)-2X^(-2) 〗)=

1/2 X^2+Ln(X)+2/X+C

∫▒(〖SEC〗^2 X)/√TANXdx

U=tanx

Du=〖sec〗^2 x dx

∫▒(〖SEC〗^2 X)/√TANXdx =∫▒du/√u =∫▒u^(-1/2) du=

2u^(1/2)= 2√tanx +C

∫▒〖〖(1+3x)〗^2/∛x dx〗=

∫▒(1+6x+9x^2)/x^(1/3) dx= (x^(-1/3)+6x^(2/3)+9x^(5/3) )dx=

3/2 x^(2/3)+18/5 x^(5/3)+27/8 x^(8/3)+C

4.

∫▒〖Tan〗^3 (x)dx = ∫▒tan⁡x 〖tan〗^2 x dx=∫▒tan⁡x (〖sec〗^2 x-1)dx=∫▒〖(tan〗⁡〖x〖sec〗^2 x-tan⁡〖x) dx〗 〗

∫▒tan⁡x 〖tan〗^2 x dx- ∫▒tan⁡x dx=∫▒u 〖sec〗^2 x du/(〖sec〗^2 x )-∫▒tan⁡x dx

= ∫▒〖u du-( -lncosx)〗

= 1/2 u^2+ln⁡cos⁡〖x+c〗

= 1/2 u^2+ln⁡cos⁡〖x+c〗

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo Resolver las siguientes integrales indefinidas:

∫▒〖√(2+9∛X) /∛(X^2 ) dx〗 = ∫▒〖(2+9x^(1/3))^^(1/2) 〗 x^(-2/3)

U=2+9x^(1/3)

Du=3x^(-2/3)

du/3=x^(-2/3)

1/3 ∫▒u^(1/2)

...