Calculo Integral

CALCULO INTEGRAL

El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la diferenciación, llamado integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F¢ = f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = òf(x)dx o simplemente F = òf dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F + c)¢ = F¢ + c¢ = f + 0 = f. Por ejemplo, ò2x dx = x2 + c. Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x = ½•2x es ½x2, y de forma similar òxm dx = xm+1/(m + 1) para cualquier m ¹ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x ¹ 0). La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla). Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para a £ x £ b. Para simplificar, se asume que f(x) ³ 0 entre a y b. Para cada x ³ a, sea L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b). Primero se diferencia L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase figura 3) el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h ± 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h ± f(x) y por tanto L¢(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) - F(a) para todas las x ³ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe

Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) ± f(x0) si x ± x0, de manera que f es una curva sin ninguna interrupción). Por ejemplo, la integral de f(x) = x2 es F(x) = x3/3, expresión similar al volumen de un cono circular de altura l y radio r, cuya sección a una distancia x por debajo del vértice tiene un radio rx/l y un área p(rx/l)2.

El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral indefinida òf(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) + c). El símbolo ò (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.

La derivada dy/dx = f¢(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f¢¢(x) o D2f. Si por ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad v, y d2y/dx2 = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la acción

...